Eclats de vers : Matemat 13 : Probabilité

Une probabilité \(\proba\) sur un ensemble d'événements \(\Omega\) est une mesure définie sur \(\mathcal{S}=\{ A : A \subseteq \Omega \}\) et à valeurs dans \([0,1]\) :

\[\proba : \mathcal{S} \mapsto [0,1] \quad\]

Cette probabilité doit vérifier la normalisation :

\[\probaof{\Omega} = 1\]

ainsi que l'additivité :

\[\probaof{\bigcup_i \Phi_i} = \sum_i \probaof{\Phi_i}\]

lorsque les ensembles \(\Phi_i\) sont disjoints deux à deux :

On en déduit directement que :

\[\probaof{\Phi} = \probaof{\Phi \cup \emptyset} = \probaof{\Phi} + \probaof{\emptyset}\]

d'où \(\probaof{\emptyset} = 0\).

La grandeur \(\probaof{\Phi}\) peut s'interpréter comme la probabilité que l'un des événements de \(\Phi\) se réalise.

Une variable aléatoire \(X\) associe une valeur réelle a chaque élément de \(\Omega\). On a donc \(X : \Omega \mapsto \setR\).

Etant donné une variable aléatoire \(X\), on peut définir une mesure induite \(\mathcal{L}_X : \sousens(\setR) \mapsto [0,1]\), qui exprime la probabilité qu'un événement \(\omega \in \Omega\) donne une valeur appartenant à un sous-ensemble \(U \subseteq \setR\) :

\[\mathcal{L}_X(U) = \probaof{X^{-1}(U)} = \probaof{ \{ \omega\in\Omega : X(\omega) \in U \} }\]

Soit \(X\) une variable aléatoire et \(U \subseteq \setR\). On définit le sous-ensemble de \(\Omega\) :

\[\Theta(X,U) = \{ \omega \in \Omega : X(\omega) \in U \}\]

ou de manière équivalente en utilisant la relation inverse \(X^{-1}\) :

\[\Theta(X,U) = X^{-1}(U)\]

La collection \(\Lambda(X)\) induite par \(X\) est un ensemble regroupant les \(\Theta(X,U)\) pour tous les sous-ensembles de \(\setR\) :

\[\Lambda(X) = \{ \Theta(X,U) : U \subseteq \setR \}\]

Comme :

il est clair que l'on a \(\emptyset, \Omega \in \Lambda(X)\) quelle que soit la variable aléatoire \(X\).

L'espérance d'une variable aléatoire \(X\) est simplement une moyenne pondérée par les probablités que \(X\) prennent telle ou telle valeur :

\[\esperof{X} = \int_{\Omega} X(\omega) \ d\proba(\omega)\]

Soit une variable aléatoire \(X\) et la fonction étagée \(G : \setR \mapsto \setR\) définie pour tout \(x \in \setR\) par :

\[G(x) = \sum_i g_i \ \indicatrice_{A_i}(x)\]

où les \(A_i\) forment une partition de \(\setR\) et où les \(g_i\) sont supposés sans perte de généralité être des réels distincts. Soit la partition de \(\Omega\) constituée des ensembles :

\[\Omega_i = X^{-1}(A_i) = \{ \omega \in \Omega : X(\omega) \in A_i \}\]

On voit que \((G \circ X)(\omega) = g_i\) pour tout \(\omega \in \Omega_i\). Calculons l'espérance de \(G(X)\) :

\begin{align} \esperof{G(X)} &= \int_\Omega (G \circ X)(\omega) \ d\proba(\omega) \\ &= \sum_i \int_{\Omega_i} (G \circ X)(\omega) \ d\proba(\omega) \\ &= \sum_i \int_{\Omega_i} g_i \ d\proba(\omega) \\ &= \sum_i g_i \int_{\Omega_i} \ d\proba(\omega) \\ &= \sum_i g_i \ \probaof{\Omega_i} \end{align}

Par définition de la mesure induite, on a :

\[\mathcal{L}_X(A_i) = \probaof{X^{-1}(A_i)} = \probaof{\Omega_i}\]

L'espérance de \(G(X)\) peut donc s'exprimer comme :

\[\esperof{G(X)} = \sum_i g_i \ \mathcal{L}_X(A_i)\]

Mais le membre de droite n'est autre que l'intégrale de \(G\) sur \(\setR\) utilisant la mesure \(\mathcal{L}_X\) :

\[\esperof{G(X)} = \int_\setR G(x) \ d\mathcal{L}_X(x)\]

Comme cette expression doit être valable pour toute fonction en escalier, on en conclut que :

\[\esperof{G(X)} = \int_\setR G(x) \ d\mathcal{L}_X(x)\]

pour toute fonction intégrable \(G\).

On définit le moment générateur d'une densité par :

\[\Psi_X(u) = \esperof{\exp(X \cdot u)}\]

L'intérêt de cette fonction est qu'elle permet de calculer facilement les espérances des puissances naturelles de \(X\). En effet :

\[\frac{d^k \Psi_X}{du^k}(u) = \esperof{X^k \ \exp(X \cdot u)}\]

et donc :

\[\OD{\Psi}{u}(0) = \esperof{X^k \ \exp(0)} = \esperof{X^k}\]

La variance de \(X\) est la variation carrée moyenne de \(X\) autour de son espérance \(\esperof{X}\) :

\[\var{X} = \esperof{\left(X-\esperof{X}\right)^2}\]

Comme la variable \(Z = \left(X-\esperof{X}\right)^2\) est positive, son espérance doit également etre positive et \(\var{X} \ge 0\).

En développant la définition et en utilisant la linéarité de l'espérance, on obtient :

\begin{align} \var{X} &= \esperof{X^2 - 2 \ X \cdot \esperof{X} + \esperof{X}^2} \\ &= \esperof{X^2} - 2 \ \esperof{X} \cdot \esperof{X} + \esperof{X}^2 \cdot \esperof{1} \\ &= \esperof{X^2} - 2 \ \esperof{X}^2 + \esperof{X}^2 \end{align}

soit :

\[\var{X} = \esperof{X^2} - \esperof{X}^2\]

La covariance de deux variables aléatoire \(X,Y\) se définit par :

\[\cov{X}{Y} = \esperof{(X-\esperof{X}) \cdot (Y-\esperof{Y})}\]

En développant et en utilisant la linéarité de l'espérance, on obtient :

\begin{align} \cov{X}{Y} &= \esperof{X \cdot Y} - \esperof{X} \cdot \esperof{Y} - \esperof{Y} \cdot \esperof{X} + \esperof{X} \cdot \esperof{Y} \\ &= \esperof{X \cdot Y} - \esperof{X} \cdot \esperof{Y} \end{align}

On voit également que la variance d'une variable aléatoire \(X\) n'est rien d'autre que sa covariance avec elle-même :

\[\var{X} = \cov{X}{X}\]

Nous utilisons la notation :

\[X_0 = X - \esperof{X}\]

pour toute variable aléatoire \(X\). Cette variables aléatoire \(X_0\) a la propriété d'avoir une espérance nulle car :

\[\esperof{X_0} = \esperof{X - \esperof{X} } = \esperof{X} - \esperof{X} = 0\]

La variance d'une telle variable peut s'écrire :

\[\var{X_0} = \esperof{X_0^2} - \esperof{X_0}^2 = \esperof{X_0^2}\]

Quant à la covariance, elle s'écrit :

\[\cov{X_0}{Y_0} = \esperof{X_0 \ Y_0} - \esperof{X_0} \ \esperof{Y_0} = \esperof{X_0 \ Y_0}\]

Soit les réels \(a,b\). Par linéarité de l'espérance, on a :

\[\esperof{a \ X + b \ Y} = a \ \esperof{X} + b \ \esperof{Y}\]

La variance de la combinaison linéaire \(a \ X + b \ Y\) s'écrit :

\begin{align} \var{a \ X + b \ Y} &= \esperof{(a \ X + b \ Y - \esperof{a \ X + b \ Y})^2} \\ &= \esperof{(a \ X + b \ Y - a \ \esperof{X} - b \ \esperof{Y})^2} \\ &= \esperof{(a \ X_0 + b \ Y_0)^2} \end{align}

En développant, on arrive à :

\begin{align} \var{a \ X + b \ Y} &= \esperof{a^2 \ X_0^2 + 2 \ a \ b \ X_0 \ Y_0 + b^2 \ Y_0^2} \\ &= a^2 \ \esperof{X_0^2} + 2 \ a \ b \ \esperof{X_0 \ Y_0} + b^2 \ \esperof{Y_0^2} \end{align}

et donc :

\[\var{a \ X + b \ Y} = a^2 \ \var{X_0} + 2 \ a \ b \ \cov{X_0}{Y_0} + b^2 \ \var{Y_0}\]

L'invariance sous translation nous permet alors d'écrire :

\[\var{a \ X + b \ Y} = a^2 \ \var{X} + 2 \ a \ b \ \cov{X}{Y} + b^2 \ \var{Y}\]

Nous allons voir que la covariance est un produit scalaire. Nous utilisons la notation :

\[X_0 = X - \esperof{X}\]

pour toute variable aléatoire \(X\). Cette variables aléatoire \(X_0\) a la propriété d'avoir une espérance nulle car :

\[\esperof{X_0} = \esperof{X - \esperof{X} } = \esperof{X} - \esperof{X} = 0\]

On en déduit que :

\[\cov{X_0}{Y_0} = \esperof{X_0 \ Y_0} - \esperof{X_0} \ \esperof{Y_0} = \esperof{X_0 \ Y_0}\]

La symétrie est vérifiée :

\[\cov{Y_0}{X_0} = \esperof{Y_0 \cdot X_0} = \esperof{X_0 \cdot Y_0} = \cov{X_0}{Y_0}\]

En ce qui concerne le caractère défini positif, on a :

\[\cov{X_0}{X_0} = \esperof{X_0^2} \ge 0\]

De plus, si \(X_0\) est tel que \(\cov{X_0}{X_0} = 0\), on a :

\[\int_\Omega X_0^2 \ d\proba(\omega) = 0\]

ce qui entraîne la nullité essentielle \(X_0 \essegal 0\) sur \(\Omega\).

Soit les réels \(a,b\). On voit que la linéarité est bien respectée :

\begin{align} \cov{X_0}{a \ Y_0 + b \ Z_0} &= \esperof{X_0 \ (a \ Y_0 + b \ Z_0)} \\ &= a \ \esperof{X_0 \ Y_0} + b \ \esperof{X_0 \ Z_0} \\ &= a \ \cov{X_0}{Y_0} + b \ \cov{X_0}{Z_0} \end{align}

Nous venons de montrer que la covariance est essentiellement un produit scalaire pour toute variable aléatoires à espérance nulles \(X_0, Y_0\). Comme la covariance est invariante sous translation, on voit que :

\[\cov{X}{Y} = \cov{X_0}{Y_0}\]

est également un produit scalaire pour toutes variables aléatoires \(X,Y\).

\label{sec:proba_cond}

On définit une nouvelle famille de probabilités :

\[\probaof{A | B} = \frac{ \probaof{A \cap B} }{ \probaof{B} }\]

où \(A,B\) sont des sous-ensembles quelconque de \(\Omega\), et où \(B\) est tel que :

\[\probaof{B} > 0\]

Comme \(B \cap B = B\), on a :

\[\probaof{ B | B } = 1\]

On est donc certain qu'un événement de \(B\) va se produire. En fait, pour tout ensemble \(C\) tel que \(B \subseteq C\), on a \(C \cap B = B\) et :

\[\probaof{ C | B } = 1\]

On déduit de l'inégalité :

\[\probaof{A \cap B} \le \probaof{B}\]

que :

\[\probaof{A | B} \le 1\]

D'un autre coté, comme \(\probaof{B} \le 1\), on a :

\[\probaof{A | B} \ge \probaof{A \cap B} \ge 0\]

L'additivité est également satisfaite :

\begin{align} \probaof{ \cup_i A_i | B} &= \frac{ \probaof{(\cup_i A_i) \cap B} }{ \probaof{B} } \\ &= \frac{ \probaof{\cup_i (A_i \cap B)} }{ \probaof{B} } \\ &= \sum_i \frac{ \probaof{A_i \cap B} }{ \probaof{B} } = \sum_i \probaof{ A_i | B} \end{align}

pour toute famille de \(A_i\) disjoints deux à deux. Les fonctions :

\[\proba_B\left[ A \right] = \probaof{A | B}\]

forment donc bien une famille de probabilités. On dit que \(\probaof{A | B}\) est la probabilité conditionnelle de \(A\) sachant \(B\).

Lorsque \(B = \Omega\), on retrouve d'ailleurs :

\[\probaof{A | \Omega} = \probaof{A}\]

Soit \(A \subseteq \Omega\). On a vu que :

\[\esperof{\indicatrice_A} = \probaof{A}\]

pour toute fonction indicatrice d'un sous-ensemble \(A\) de \(\Omega\). Par analogie, on aimerait bien obtenir une expression d'une espérance conditionnelle vérifiant :

\[\esperof{\indicatrice_A | B} = \probaof{A | B}\]

pour un ensemble \(B \subseteq \Omega\) donné vérifiant \(\probaof{B} > 0\).

Soit \(\Omega_1, ..., \Omega_N\) une partition de \(\Omega\) et \(Z\) une variable aléatoire en escalier :

\[Z(\omega) = \sum_i Z_i \ \indicatrice_{\Omega_i}(\omega)\]

On voit que :

\begin{align} \esperof{Z | B} &= \sum_i Z_i\ \esperof{\indicatrice_{\Omega_i} | B} \\ &= \sum_i Z_i\ \probaof{\Omega_i | B} \end{align}

Or :

\[\probaof{\Omega_i | B} = \frac{ \probaof{\Omega_i \cap B} }{ \probaof{B} }\]

On a donc :

\[\esperof{Z | B} = \unsur{ \probaof{B} } \sum_i Z_i\ \probaof{\Omega_i \cap B}\]

Considérons la nouvelle partition :

Comme \(\Phi_i^+ \cup \Phi_i^- = \Omega_i\), on a clairement \(\indicatrice_{\Phi_i^+} + \indicatrice_{\Phi_i^-} = \indicatrice_{\Omega_i}\) et on peut réexprimer \(Z\) comme :

\[Z(\omega) = \sum_i Z_i\ \indicatrice_{\Phi_i^+}(\omega) + \sum_i Z_i\ \indicatrice_{\Phi_i^-}(\omega)\]

L'expression de l'espérance conditionelle devient :

\[\esperof{Z | B} = \unsur{ \probaof{B} } \left[ \sum_i Z_i\ \probaof{\Phi_i^+ \cap B} + \sum_i Z_i\ \probaof{\Phi_i^- \cap B} \right]\]

Remarquons que par construction :

Par conséquent, les termes en \(\probaof{\Phi_i^- \cap B}\) s'annulent et on a :

\[\esperof{Z | B} = \unsur{ \probaof{B} } \sum_i Z_i\ \probaof{\Phi_i^+}\]

Mais comme \(\bigcup_i \Phi_i^+ = B\), les \(\Phi_i^+\) forment une partition de \(B\) et on peut écrire cette expression sous la forme intégrale :

\[\esperof{Z | B} = \frac{ \int_B Z\ \ d\proba }{ \int_B \ d\proba }\]

Comme cette relation doit être valable pour toute variable aléatoire en escalier \(Z\), elle l'est également pour une variable aléatoire quelconque \(X\) :

\[\esperof{X | B} = \frac{ \int_B X\ \ d\proba }{ \int_B \ d\proba }\]

Nous allons à présent considérer le cas particulier où l'ensemble des événements peut s'écrire comme :

\[\Omega = \{ \omega_i : i \in \setN \}\]

Nous notons \(p_i\) les probabilités associées aux singletons :

\[p_i = \probaof{ \{\omega_i\} }\]

Étant donnée une variable aléatoire \(X\), on note :

\[x_i = X(\omega_i)\]

L'espérance d'une telle variable s'écrit simplement :

\[\esperof{X} = \sum_i x_i \ p_i\]

On dit que les variables aléatoires \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_N\) sont indépendantes si :

\[\esperof{\prod_i X_i} = \prod_i \esperof{X_i}\]

On en déduit que :

\[\cov{X_i}{X_j} = \var{X_i} \ \indicatrice_{ij}\]

et donc :

\[\var{\sum_i X_i} = \sum_i \var{X_i}\]

Nous nous intéressons dans la suite de ce chapitre à des échantillons de \(N\) variables aléatoires indépendantes \(X_1,...,X_N\) telles que :

Soit une variable aléatoire \(X\). On définit la variable associée :

Comme :

\[Y \le (X-b)^2\]

on a \(\esperof{Y} \le \esperof{(X-b)^2}\). D'un autre coté :

\[\esperof{Y} = a^2 \ \probaof{\abs{X-b} \ge a}\]

Rassemblant ces deux résultats, on obtient la propriété :

\[\probaof{\abs{X-b} \ge a} \le \unsur{a^2} \ \esperof{(X-b)^2}\]

connue sous le nom d'inégalité de Markov.

Le cas particulier \(b = \esperof{X}\) nous donne :

\[\probaof{\abs{X-\esperof{X}} \ge a} \le \unsur{a^2} \ \var{X}\]

Soit la moyenne :

\[M_N = \unsur{N} \sum_{i=1}^N X_i\]

On a :

\[\esperof{M_N} = \unsur{N} \ N \ \mu = \mu\]

L'indépendance entre les variables nous amène à :

\begin{align} \var{M_N} &= \unsur{N^2} \var{\sum_i X_i} \\ &= \unsur{N^2} \sum_i \var{X_i} \\ &= \unsur{N^2} \ N \ \sigma^2 \end{align}

et donc :

\[\var{M_N} = \frac{\sigma^2}{N}\]

Soit \(a > 0\). L'inégalité de Markov nous dit que :

\[\probaof{\abs{M_N - \mu} \ge a} \le \frac{\sigma^2}{a^2 N}\]

Soit à présent \(\epsilon > 0\). Si on veut :

\[\probaof{\abs{M_N - \mu} \ge a} \le \frac{\sigma^2}{a^2 N} \strictinferieur \epsilon\]

il suffit de choisir :

\[N > \frac{\sigma^2}{a^2 \epsilon}\]

On en conclut que :

\[\lim_{N \to +\infty} \probaof{M_N = \mu} = 1\]

Appliquons la loi des grands nombres à la fonction indicatrice \(\indicatrice_A\). On a alors \(X_i = 1\) lorsque \(\omega \in A\) et \(X_i = 0\) lorsque \(\omega \notin A\). La moyenne s'écrit donc :

\[M_N = \frac{n(A)}{N}\]

où \(n(A)\) est le nombre de \(X_i\) valant 1, autrement dit le nombre d'événements \(\omega\) appartenant à \(A\). Comme :

\[\mu = \esperof{\indicatrice_A} = \probaof{A}\]

on en déduit que la fréquence \(n(A) / N\) converge vers la probabilité de \(A\) :

\[\lim_{N \to +\infty} \probaof{\frac{n(A)}{N} = \probaof{A}} = 1\]

Soit une fonction \(G : \setR^n \mapsto \setR\) :

\[G : (X_1,...,X_N) \mapsto G(X_1,...,X_N)\]

On dit que \(\hat{G} : \setR^n \mapsto \setR\) est un estimateur non biaisé de \(G\) si :

\[\esperof{\hat{G}} = \esperof{G}\]

Soit :

\[M_N(X_1,...,X_N) = \unsur{N} \sum_{i=1}^N X_i\]

La loi des grands nombres nous dit que :

\[\esperof{M_N} = \mu\]

La moyenne \(M_N\) est donc un estimateur non biaisé de l'espérance \(\mu\).

Soit les variables à espérances nulles :

On obtient directement :

\[M_N^* = \unsur{N} \sum_i X_i^*\]

On voit également que :

\[X_i - M_N = X_i - \mu + \mu - M_N = X_i^* - M_N^*\]

Donc :

\[\esperof{\sum_i (X_i - M_N)^2} = \esperof{\sum_i \left( X_i^* - M_N^* \right)^2}\]

En développant, on obtient successivement :

\begin{align} \esperof{\sum_i (X_i - M_N)^2} &= \esperof{ \sum_i \left( X_i^* \right)^2 } - 2 \ \esperof{M_N^* \sum_i X_i^*} + \esperof{ \left( M_N^* \right)^2 } \\ &= \sum_i \esperof{ \left( X_i^* \right)^2 } - 2 \ N \ \esperof{ \left( M_N^* \right)^2 } + \esperof{ \left( M_N^* \right)^2 } \end{align}

Mais comme :

l'expression devient :

\[\esperof{\sum_i (X_i - M_N)^2} = (N - 2 + 1) \ \sigma^2 = (N-1) \ \sigma^2\]

On en conclut que :

\[S^2 = \unsur{N-1} \sum_{i=1}^{N} (X_i - M_N)^2\]

est un estimateur non biaisé de la variance :

\[\esperof{S^2} = \sigma^2\]

Il s'agit de trouver les paramètres \(\hat{\theta}\) (espérance, variance, …) qui maximisent la vraisemblance :

\[V(\hat{\theta}) = \prod_i \probaof{ \{\omega : X_i(\omega) = x_i \} | \theta = \hat{\theta} }\]

Notons que cela revient à maximiser :

\[\ln\prod_{i=1}^N \probaof{ \{\omega : X_i(\omega) = x_i \} | \theta = \hat{\theta} } = \sum_{i=1}^N \ln\probaof{ \{\omega : X_i(\omega) = x_i \} | \theta = \hat{\theta} }\]

ce qui est souvent plus facile.

En pratique, lorsque la fonction de densité \(f_\theta\) est connue, on maximise :

\[\phi(\theta) = \sum_i \ln f_\theta(x_i)\]

en imposant :

\[\deriveepartielle{\phi}{\theta}(\hat{\theta}) = 0\]

Il s'agit d'un algorithme permettant de générer \(N\) nombres aléatoires :

\[\{ x_1, ..., x_N \}\]

suivant la densité \(f\). Soit \(\epsilon \ge 0\) une erreur maximale et \([a,b]\) tel que :

\[\int_a^b f(x) \ dx = 1 - \epsilon\]

Soit :

\[M = \sup_{x \in [a,b]} f(x)\]

et la génératrice :

\[\rand(a,b)\]

qui renvoie des variables aléatoires de densité uniforme sur \([a,b]\).

On part de \(A_0 = \emptyset\). A chaque itération, on génére deux nombres de densités uniformes :

Afin de modifier cette densité, on n'ajoute \(x\) à la liste déjà obtenue :

\[A_i = A_{i-1} \cup \{ x \}\]

que si \(y < f(x)\). Autrement, on ne fait rien et on passe à l'itération suivante.

La comparaison de \(y\) et de \(f(x)\) sert donc de filtre à l'algorithme.

Un processus stochastique est une fonction :

\[X : [0,+\infty) \times \Omega \mapsto \setR, \quad (t,\omega) \mapsto X(t,\omega)\]

On sous-entend souvent l'événement \(\omega\), et on note \(X(t)=X(t,\omega)\).

Il s'agit d'une intégrale utilisant un processus stochastique \(X\) comme mesure :

\[I(t) = \int_0^t f(s) \ dX(s) = \lim_{\delta \to 0} \sum_k f(t_k) (X(t_{k+1}) - X(t_k))\]

Soit \(\delta \strictsuperieur 0\) et les \(N\) temps \(t_k = k \cdot \delta\) où \(k = 0,...,\arrondisup{\frac{T}{\delta}}\). On définit la variation quadratique d'une fonction \(f\) :

\[\variation{f}(T) = \lim_{\delta \to 0} \sum_k (f(t_{k+1}) - f(t_k))^2\]

Si la dérivée de \(f\) existe, la variation quadratique s'annule car :

\[(f(t_{k+1}) - f(t_k))^2 \to \delta^2 \ \OD{f}{t}(t_k)^2\]

Comme \(\delta^2 \to \delta \ ds\), on a :

\[\variation{f}(T) = \lim_{\delta \to 0} \delta \int_0^T \left(\OD{f}{t}(s)\right)^2 ds = 0\]

Considérons maintenant deux processus stochastiques \(X,Y\). Nous définissons la variation conjointe \(\variation{X,Y}\) :

\[\variation{X,Y}(T) = \lim_{\delta \to 0} \sum_k (X(t_{k+1}) - X(t_k)) \ (Y(t_{k+1}) - Y(t_k))\]

Dans le cas où les dérivées de \(X\) et de \(Y\) existent, on a évidemment : \(\variation{X,Y} = 0\).

Pour une fonction \(f : \setR^2 \mapsto \setR\) quelconque, nous avons :

\[df(X,Y) = f(X + \ dX,Y + dY) - f(X,Y)\]

Dans le cas particulier où \(f(X,Y)=X \cdot Y\), cette expression se réduit à :

\begin{align} d(X \cdot Y) &= (X + \ dX) \cdot (Y + dY) - X \cdot Y \\ &= \ dX \cdot Y + X \cdot dY + \ dX \cdot dY \end{align}

Mais comme :

\[\variation{X,Y}(t) = \int_0^t \ dX \cdot dY\]

on a en définitive :

\begin{align} X(t) Y(t) - X(0) Y(0) &= \int_0^t d(X Y)(s) \\ &= \int_0^t X(s) \ dY(s) + \int_0^t Y(s) \ dX(s) + \variation{X,Y}(t) \end{align}

La définition nous donne directement :

\[\variation{X} = \variation{X,X}\]

On peut aussi vérifier que :

\[(X + Y)^2 - (X - Y)^2 = 4 \ X \ Y\]

d'où l'on déduit :

\[\variation{X,Y} = \unsur{4} ( \variation{X + Y} - \variation{X - Y} )\]

Soit \(\delta \strictsuperieur 0\) et les temps \(t_k = k \delta\) où \(k = 0,...,\arrondisup{\frac{T}{\delta}}\). On définit la variation d'ordre \(n\) d'une fonction \(f\) :

\[\variation{f}^n(T) = \lim_{\delta \to 0} \sum_k (f(t_{k+1}) - f(t_k))^n\]

Soit une fonction \(F : \setR^n \mapsto \setR\) et \(N\) processus stochastiques \(X_i\) dont les variations d'ordre \(n \ge 3\) s'annulent. Soit \(X=(X_1,...,X_N)\). On peut écrire le développement en série de Taylor d'ordre 2 :

\[F(X + \Delta) - F(X) \approx \deriveepartielle{F}{X}(X) \Delta + \unsur{2} \Delta^T \dblederiveepartielle{F}{X}(X) \Delta\]

En faisant tendre \(\Delta \to 0\), on obtient :

\[dF = \deriveepartielle{F}{X} \ dX + \unsur{2} \ dX^T \dblederiveepartielle{F}{X} \ dX\]

On a donc la formule de Ito pour une fonction $f : \setRⁿ \mapsto \setR $ :

\[dF = \sum_i \deriveepartielle{F}{X_i} \ dX_i + \unsur{2} \sum_{i,j} \dfdxdy{F}{X_i}{X_j} \ dX_i \ dX_j\]

Ce qui nous permet d'évaluer une variation de \(F\) :

Un mouvement brownien est un processus stochastique :

\[B : [0,+\infty) \times \Omega \mapsto \setR, \quad (t,\omega) \mapsto B(t,\omega)\]

continu par rapport à \(t\) :

\[B_\omega : t \mapsto B(t,\omega) \in \Cont([0,+\infty))\]

De plus, si on définit :

\[\mathcal{B}_t : \omega \mapsto B(t,\omega)\]

on a la propriété d'indépendance des variations temporelles :

\[\cov{\mathcal{B}_u - \mathcal{B}_t}{\mathcal{B}_t - \mathcal{B}_s} = 0\]

pour tout \(s \strictinferieur t \strictinferieur u\) positifs. On demande aussi qu'une variation \(\mathcal{B}_t - \mathcal{B}_s\) suive une loi normale d'espérance nulle et de variance \(t-s\) :