Eclats de vers : Matemat 07 : Intégrales - 5

Soit les ensembles \(\Omega\) et \(\Psi\), les tribus \(\mathcal{T} \subseteq \sousens(\Omega)\) et \(\mathcal{U} \subseteq \sousens(\Psi)\) et les mesures \(\mu : \mathcal{T} \mapsto \setR\) et \(\nu : \mathcal{U} \mapsto \setR\).

On considère un ensemble \(X \subseteq \Psi\) mesurable pour \(\nu\) et paramétrant la collection \(\mathcal{C} = \{ P(x) \in \sousens(\Omega) : x \in X \}\) formant une partition de \(\Omega\). Nous supposons également que chaque ensemble-élément de \(\mathcal{C}\) est mesurable pour \(\mu\). Choisissons un sous-ensemble quelconque \(A \subseteq \Omega\). Posons \(A(x) = P(x) \cap A\) et :

\[\mathcal{P}(A) = \{ A(x) : x \in X \} = \{ P(x) \cap A : x \in X \}\]

On a :

\[\bigcup_{x \in X} A(x) = A \cap \bigcup_{x \in X} P(x) = A \cap \Omega = A\]

Si \(x,y \in X\) vérifient \(x \ne y\), on a aussi :

\[A(x) \cap A(y) = P(x) \cap P(y) \cap A = \emptyset\]

On en déduit que \(\mathcal{P}(A)\) forme une partition de \(A\). Soit la collection \(\mathcal{M}\) des sous-ensembles \(A\) de \(\Omega\) tels que la fonction \(x \mapsto \mu(A(x))\) soit mesurable. Si \(\mathcal{M}\) forme une tribu, on peut définir une mesure \(\sigma : \mathcal{M} \mapsto \setR\) par la relation :

\[\sigma(A) = \int_X \mu(A(x)) \ d\nu(x)\]

Par positivité de \(\mu\) et de l'intégrale, on a clairement \(\sigma \ge 0\). L'ensemble vide étant de mesure nulle au sens de \(\mu\), on a :

\begin{align} \sigma(\emptyset) &= \int_X \mu(\emptyset \cap P(x)) \ d\nu(x) \\ &= \int_X \mu(\emptyset) \ d\nu(x) \\ &= \int_X 0 \ d\nu(x) \\ &= 0 \end{align}

Soit \(A,B \subseteq \Omega\) avec \(A \cap B = \emptyset\). On a :

\begin{align} A(x) \cup B(x) &= (A \cap P(x)) \cup (B \cap P(x)) \\ &= (A \cup B) \cap P(x) \\ &= (A \cup B)(x) \end{align}

Par additivité de \(\mu\) et linéarité de l'intégrale, on a :

\begin{align} \sigma(A \cup B) &= \int_X \mu((A \cup B)(x)) \ d\nu(x) \\ &= \int_X \mu(A(x) \cup B(x)) \ d\nu(x) \\ &= \int_X [\mu(A(x)) + \mu(B(x))] \ d\nu(x) \\ &= \int_X \mu(A(x)) \ d\nu(x) + \int_X \mu(B(x)) \ d\nu(x) \\ &= \sigma(A) + \sigma(B) \end{align}

La fonction \(\sigma\) est donc également additive et représente bien une mesure.

Soit une fonction étagée \(w : A \mapsto \setR\). On dispose d'une partition \(\{A_1,...,A_n\}\) de \(A\) et de réels \(w_i\) tels que :

\[w = \sum_i w_i \cdot \indicatrice_{A_i}\]

Evaluons son intégrale :

\begin{align} \int_A w(z) \ d\sigma(z) &= \sum_i w_i \cdot \sigma(A_i) \\ &= \sum_i w_i \int_X \mu(A_i(x)) \ d\nu(x) \\ &= \int_X \sum_i w_i \cdot \mu(A_i(x)) \ d\nu(x) \\ &= \int_X \left[ \int_{A(x)} w(y) \ d\mu(y) \right] \ d\nu(x) \end{align}

On a donc :

\[\int_A w(z) \ d\sigma(z) = \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} w(y) \ d\mu(y)\]

pour toute fonction étagée.

Soit les fonctions mesurables \(f,g\) vérifiant \(f \essinferieur g\) au sens de la mesure \(\sigma\). Soit :

\[N = \{ z \in A : f(z) \strictsuperieur g(z) \}\]

Comme \(N \subseteq A\), on a \(N = N \cap A\) et :

\begin{align} N(x) = N \cap P(x) &= N \cap A \cap P(x) \\ &= N \cap A(x) \\ &= \{ z \in A(x) : f(z) \strictsuperieur g(z) \} \end{align}

La mesure de \(N\) étant $σ$-nulle, on a :

\[\sigma(N) = \int_X \mu(N(x)) \ d\nu(x) = 0\]

Comme \(\mu\) est positive, elle est essentiellement positive. On en conclut que la fonction \(x \mapsto \mu(N(x))\) est essentiellement nulle sur \(X\) (au sens de la mesure \(\nu\)). L'ensemble :

\[Z = \{ x \in X : \mu(N(x)) \strictsuperieur 0 \}\]

vérifie \(\nu(Z) = 0\). Le sous-ensemble :

\[E = X \setminus Z = \{ x \in X : \mu(N(x)) = 0 \}\]

est donc $ν$-essentiel dans \(X\). Soit les fonctions \(F,G : X \mapsto \setR\) définies par :

Pour tout \(x \in E\), on a \(\mu(N(x)) = 0\). Le sous-ensemble :

\[C(x) = A(x) \setminus N(x) = \{ y \in A(x) : f(y) \le g(y) \}\]

est donc $μ$-essentiel dans \(A(x)\). On a donc \(w \essinferieur f\) au sens de \(\mu\) sur \(A(x)\) et :

\[F(x) = \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) \le \int_{A(x)} g(y) \ d\mu(y) = G(x)\]

On a donc \(F \le G\) sur \(E\) qui est un sous-ensemble essentiel de \(X\). Donc, \(F \essinferieur G\) au sens de \(\nu\) sur \(X\) et :

\[\int_X F(x) \ d\nu(x) \le \int_X G(x) \ d\nu(x)\]

Autrement dit :

\[\int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) \le \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} g(y) \ d\mu(y)\]

Soit une fonction intégrable \(f : A \mapsto \setR\) essentiellement positive et majorée au sens de \(\sigma\) :

\[\supessentiel_{x \in A}^\sigma f(x) \strictinferieur +\infty\]

Soit un réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\).

• Le supremum étant dans l'adhérence, on peut trouver une fonction étagée \(w\) essentiellement inférieure à \(f\) au sens de \(\sigma\) et telle que :

\[\int_A f(z) \ d\sigma(z) - \epsilon \le \int_A w(z) \ d\sigma(z)\]

On a aussi :

\begin{align} \int_A w(x) \ d\sigma(x) &= \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} w(y) \ d\mu(y) \\ &\le \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) \end{align}

d'où finalement :

\[\int_A f(x) \ d\sigma(x) - \epsilon \le \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y)\]

Comme cette relation est valable pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on doit avoir :

\[\int_A f(x) \ d\sigma(x) \le \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y)\]

• Comme \(f\) est essentiellement majorée, on peut trouver une fonction étagée \(w\) essentiellement inférieure à \(f\) au sens de \(\sigma\) et telle que :

\[\supessentiel_{x \in A}^\sigma [f(x) - w(x)] \le \epsilon\]

On a donc \(f \essinferieur w + \epsilon\) au sens de \(\sigma\) et :

\[\int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) \le \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} [w(y) + \epsilon] \ d\mu(y)\]

On voit que :

\begin{align} \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} [w(y) + \epsilon] \ d\mu(y) &= \int_X \ d\nu(x) \left[ \int_{A(x)} w(y) \ d\mu(y) + \epsilon \cdot \mu(A(x)) \right] \\ &= \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} w(y) \ d\mu(y) + \epsilon \cdot \int_X \mu(A(x)) \ d\nu(x) \\ &= \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} w(y) \ d\mu(y) + \epsilon \cdot \sigma(A) \end{align}

Or :

\[\int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} w(y) \ d\mu(y) = \int_A w(z) \ d\sigma(z) \le \int_A f(z) \ d\sigma(z)\]

par définition du supremum. Rassemblant tous ces résultats, il vient :

\[\int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) \le \int_A f(z) \ d\sigma(z) + \epsilon \cdot \sigma(A)\]

Cette inégalité devant être satisfaite pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on en conclut que :

\[\int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) \le \int_A f(z) \ d\sigma(z)\]

L'intégrale double \(\int_X \int_{A(x)}\) devant être simultanément supérieure et inférieure à l'intégrale \(\int_A\), on a :

\[\int_A f(z) \ d\sigma(z) = \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y)\]

Posons :

et :

Comme \(f\) est essentiellement majorée sur \(C(\alpha)\), on a :

\[\int_{C(\alpha)} f(z) \ d\sigma(z) = \int_X \ d\nu(x) \int_{C(\alpha,x)} f(y) \ d\mu(y)\]

Les propriétés de \(Z(\alpha) = A \setminus C(\alpha)\) nous montrent que :

\[\lim_{\alpha \to +\infty} \int_{C(\alpha)} f(z) \ d\sigma(z) = \int_A f(z) \ d\sigma(z)\]

On obtient bien entendu le même résultat en se restreignant aux entiers \(n \in \setN\) :

\[\lim_{n \to \infty} \int_{C(n)} f(z) \ d\sigma(z) = \int_A f(z) \ d\sigma(z)\]

Comme \(Z(\alpha,x)\) vérifie les mêmes propriétés, on a :

\[\lim_{n \to \infty} \int_{C(n,x)} f(y) \ d\mu(y) = \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y)\]

Pour tout \(n \in \setN\), posons :

\[u_n(x) = \int_{C(n,x)} f(y) \ d\mu(y)\]

Il s'agit d'une suite de fonctions positives. Comme l'inégalité \(m \le n\) implique \(C(m,x) \subseteq C(n,x)\), on a \(u_m \le u_n\). La suite est donc croissante et converge vers :

\[\lim_{n \to \infty} u_n(x) = \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y)\]

La convergence monotone nous montre alors que :

\begin{align} \lim_{n \to \infty} \int_X u_n(x) \ d\nu(x) &= \int_X \lim_{n \to \infty} u_n(x) \ d\nu(x) \\ &= \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) \end{align}

D'un autre coté, on a :

\begin{align} \lim_{n \to \infty} \int_X u_n(x) \ d\nu(x) &= \lim_{n \to \infty} \int_X \ d\nu(x) \int_{C(n,x)} f(y) \ d\mu(y) \\ &= \lim_{n \to \infty} \int_{C(n)} f(z) \ d\sigma(z) \\ &= \int_A f(z) \ d\sigma(z) \end{align}

On en conclut finalement que :

\[\int_A f(z) \ d\sigma(z) = \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y)\]

Soit une fonction intégrable \(f : A \mapsto \setR\) et sa décomposition en fonctions positives \(f = f^+ - f^-\). On a :

\begin{align} \int_A f(z) \ d\sigma(z) &= \int_A f^+(z) \ d\sigma(z) - \int_A f^-(z) \ d\sigma(z) \\ &= \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f^+(y) \ d\mu(y) - \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f^-(y) \ d\mu(y) \\ &= \int_X \left[ \int_{A(x)} f^+(y) \ d\mu(y) - \int_{A(x)} f^-(y) \ d\mu(y) \right] \ d\nu(x) \\ &= \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) \end{align}

Soit \(A = [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] ... \times [a_n,b_n] \subseteq \setR^n\). On a :

\[\int_A f(x) \ dx = \int_{a_1}^{b_1} dx_1 \ ... \int_{a_n}^{b_n} dx_n \ f(x_1,...x_n)\]

où \(dx\) correspond à la mesure de Lebesgue \(\sigma = \mu \otimes ... \otimes \mu\).

En particulier, si la fonction à intégrer ne dépend que de \(t\), on a :

\[\int_0^T \ ds \int_0^s u(t) \ dt = \int_0^T u(t) \ dt \int_t^T \ ds = \int_0^T (T - t) \cdot u(t) \ dt\]