Eclats de vers : Matemat 07 : Intégrales - 3

Table des matières

1. Intégrales

\( \newcommand{\parentheses}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\crochets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\accolades}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\ensemble}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\identite}{\mathrm{Id}} \newcommand{\indicatrice}{\boldsymbol{\delta}} \newcommand{\dirac}{\delta} \newcommand{\moinsun}{{-1}} \newcommand{\inverse}{\ddagger} \newcommand{\pinverse}{\dagger} \newcommand{\topologie}{\mathfrak{T}} \newcommand{\ferme}{\mathfrak{F}} \newcommand{\img}{\mathbf{i}} \newcommand{\binome}[2]{ \left\{ \begin{array}{c} #1 \\ #2 \\ \end{array} \right\} } \newcommand{\canonique}{\mathfrak{c}} \newcommand{\tenseuridentite}{\boldsymbol{\mathcal{I}}} \newcommand{\permutation}{\boldsymbol{\epsilon}} \newcommand{\matriceZero}{\mathfrak{0}} \newcommand{\matriceUn}{\mathfrak{1}} \newcommand{\christoffel}[2]{ \left\{ \begin{array}{c} #1 \\ #2 \\ \end{array} \right\} } \newcommand{\lagrangien}{\mathfrak{L}} \newcommand{\sousens}{\mathfrak{P}} 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1. Intégrales

1.1. Dépendances
1.2. Introduction
1.3. Signe quelconque
1.4. Intégrale de Riemann
1.5. Fonctions essentiellement positives
1.6. Ordre
1.7. Valeur moyenne
1.8. Bornes
1.9. Opposé
1.10. Multiplication par une fonction indicatrice
1.11. Additivité
1.12. Union
1.13. Convergence des mesures
1.14. Convergence des intégrales
1.15. Adhérence
1.16. Multiplication par un réel
1.17. Addition
1.18. Linéarité

\label{chap:integral}

1.1. Dépendances

Chapitre \ref{chap:fonction} : Les fonctions
Chapitre \ref{chap:mesure} : Les mesures

1.2. Introduction

Soit une fonction \(f : A \mapsto \setR\) mesurable et essentiellement positive (\(f \esssuperieur 0\)) :

\[\mu(\{x : f(x) \strictinferieur 0\}) = 0\]

Pour toute fonction étagée \(w : A \mapsto \setR\), on sait que la fonction \(w - f\) est mesurable. Le réel :

\[\mu(\{ x \in A : w(x) \strictsuperieur f(x) \}) = \mu(\{ x \in A : w(x) - f(x) \strictsuperieur 0 \})\]

est donc bien défini. On peut dès lors introduire l'ensemble des fonctions étagées \(w\) essentiellement inférieures à \(f\) :

\[\mathcal{E}_A(f) = \{ w \in \etagee(A) : w \essinferieur f \}\]

Evaluant les intégrales des fonctions étagées appartenant à \(\mathcal{E}_A(f)\), on obtient l'ensemble de réels associé :

\[\mathcal{I}_A(f) = \left\{ \int_A w(x) \ d\mu(x) \ : w \in \mathcal{E}_A(f) \right\}\]

Cet ensemble est non vide car \(0 \in \mathcal{E}_A(f)\) produit une intégrale \(0 \in \mathcal{I}_A(f)\). Deux cas peuvent se présenter :

L'ensemble de réels \(\mathcal{I}_A(f)\) est majoré. Il admet donc un supremum. Nous pouvons alors définir l'intégrale de \(f\) sur \(A\) par :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = \sup \left\{ \int_A w(x) \ d\mu(x) \ : w \in \mathcal{E}_A(f) \right\}\]

On dit alors que \(f\) est intégrable sur \(A\). On le note parfois :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty\]

Dans le cas contraire, on a \(\sup \mathcal{I}_A(f) = +\infty\). On définit par analogie :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = +\infty\]

1.2.1. Consistance

Les propriétés extrémales des intégrales des fonctions étagées nous montrent que, dans le cas particulier où \(f \in \etagee(A)\), l'intégrale obtenue par le supremum est identique à l'intégrale au sens des fonctions étagées.

1.3. Signe quelconque

Soit une fonction mesurable \(f : A \mapsto \setR\). On peut décomposer \(f\) en fonctions positives \(f^+,f^- : A \mapsto \setR\) définies par :

\begin{align} f^+(x) &= \max \{ f(x) , 0 \} \ge 0 \\ f^-(x) &= \max \{ -f(x) , 0 \} \ge 0 \end{align}

pour tout \(x \in A\). On a alors :

\[f = f^+ - f^-\]

Les fonctions \(f^+\) et \(f^-\) étant également mesurables, leurs intégrales sont bien définies (finies ou infinies). Plusieurs cas peuvent se présenter :

Les fonctions \(f^+\) et \(f^-\) sont intégrables sur \(A\). On étend alors la définition de l'intégrale par :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = \int_A f^+(x) \ d\mu(x) - \int_A f^-(x) \ d\mu(x)\]

On dit alors que \(f\) est intégrable.

La fonction \(f^+\) produit une intégrale infinie, mais \(f^-\) est intégrable sur \(A\). On définit alors :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = +\infty\]

La fonction \(f^-\) produit une intégrale infinie, mais \(f^+\) est intégrable sur \(A\). On définit alors :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = -\infty\]

Si aucune des fonction \(f^+,f^-\) n'est intégrable, l'intégrale de \(f\) n'est pas définie.

1.4. Intégrale de Riemann

Soit une fonction \(f\) mesurable et essentiellement positive. Posons :

\[\mathcal{F}_A(f) = \{ w \in \etagee(A) : w \esssuperieur f \}\]

et :

\[\mathcal{J}_A(f) = \left\{ \int_A w(x) \ d\mu(x) \ : w \in \mathcal{F}_A(f) \right\}\]

Si \(f\) est intégrable et que son intégrale vérifie la dualité :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = \sup \mathcal{I}_A(f) = \inf \mathcal{J}_A(f)\]

on dit que \(f\) est intégrable au sens de Riemann.

1.5. Fonctions essentiellement positives

Soit une fonction \(f\) mesurable et essentiellement positive.

1.5.1. Signe de l'intégrale

Comme la fonction étagée nulle \(0 \in \mathcal{E}_A(f)\), on a :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) \ge \int_A 0 \ d\mu(x) = 0\]

par définition du supremum. L'intégrale d'une fonction essentiellement positive est positive.

1.5.2. Intégrale nulle

Supposons que :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = 0\]

Soit le réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Si il existait un ensemble \(C \subseteq A\) de mesure non nulle tel que \(f \strictsuperieur \epsilon\) sur \(C\), la fonction étagée \(w = \epsilon \cdot \indicatrice_C\) vérifierait \(w \essinferieur f\) et appartiendrait donc à \(\mathcal{E}_A(f)\). On aurait alors par définition du supremum :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) \ge \int_A \epsilon \cdot \indicatrice_C(x) \ d\mu(x) = \epsilon \cdot \mu(C) \strictsuperieur 0\]

ce qui contredit l'hypothèse. On doit donc avoir \(f \essinferieur \epsilon\) quel que soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\). On en conclut que \(f \essinferieur 0\). Mais comme on a également \(f \esssuperieur 0\), on en déduit que \(f \essegal 0\). Une fonction essentiellement positive présentant une intégrale nulle est essentiellement nulle.

1.6. Ordre

1.6.1. Fonctions positives

Soit les fonctions essentiellement positives et intégrables \(f,g : A \to \setR\) telles que \(f \essinferieur g\). Soit \(w \in \mathcal{E}_A(f)\). Comme on a \(w \essinferieur f\) et \(f \essinferieur g\), on en conclut que \(w \essinferieur g\), c'est-à-dire que \(w \in \mathcal{E}_A(g)\). On a donc \(\mathcal{E}_A(f) \subseteq \mathcal{E}_A(g)\). On en déduit que \(\mathcal{I}_A(f) \subseteq \mathcal{I}_A(g)\), d'où :

\[\sup \mathcal{I}_A(f) \le \sup \mathcal{I}_A(g)\]

Comme ces supremums sont par définition égaux aux intégrales correspondantes, on a :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) \le \int_A g(x) \ d\mu(x)\]

1.6.2. Généralisation

On considère à présent le cas de fonctions \(f,g\) de signe quelconque, toujours avec \(f \essinferieur g\). On définit les fonctions positives :

\begin{align} f^+(x) &= \max \{ f(x) , 0 \} \\ f^-(x) &= \max \{ -f(x) , 0 \} \\ g^+(x) &= \max \{ g(x) , 0 \} \\ g^-(x) &= \max \{ -g(x) , 0 \} \end{align}

On a donc \(f^+ \essinferieur g^+\) et \(g^- \essinferieur f^-\). On en conclut que :

\[\int_A f^+(x) \ d\mu(x) - \int_A f^-(x) \ d\mu(x) \le \int_A g^+(x) \ d\mu(x) - \int_A g^-(x) \ d\mu(x)\]

d'où, par définition :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) \le \int_A g(x) \ d\mu(x)\]

L'ordre des intégrales correspond à l'ordre essentiel sur les fonctions.

1.6.3. Egalité

Soit deux fonctions intégrables \(f,g\) vérifiant \(f \essegal g\). On a \(f \essinferieur g\) et l'intégrale de \(f\) est inférieure à l'intégrale de \(g\). Mais on a aussi \(f \esssuperieur g\) et l'intégrale de \(f\) est supérieure à l'intégrale de \(g\). On en conclut que :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = \int_A g(x) \ d\mu(x)\]

1.7. Valeur moyenne

La valeur moyenne d'une fonction \(f\) sur \(A\) est définie par :

\[M = \unsur{\mu(A)} \int_A f(x) \ d\mu(x)\]

1.8. Bornes

Soit une fonction intégrable \(f : A \mapsto \setR\).

Si \(f\) est essentiellement majorée, on a :

\[f \essinferieur \supessentiel \{ f(x) : x \in A \}\]

En intégrant sur \(A\), il vient :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) \le \mu(A) \cdot \supessentiel_{x \in A} f(x)\]

Si \(f\) est essentiellement minorée, on a :

\[f \esssuperieur \infessentiel \{ f(x) : x \in A \}\]

En intégrant sur \(A\), il vient :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) \ge \mu(A) \cdot \infessentiel_{x \in A} f(x)\]

Si \(f\) est majorée et minorée, et si \(A\) est de mesure non nulle, on peut réexprimer ces bornes en terme de valeur moyenne de \(f\) :

\[\infessentiel_{x \in A} f(x) \le \unsur{\mu(A)} \int_A f(x) \ d\mu(x) \le \supessentiel_{x \in A} f(x)\]

1.8.1. Corollaires

Si \(f\) est essentiellement nulle, les supremum et infimum essentiels s'annulent, et :

\[0 \le \int_A f(x) \ d\mu(x) \le 0\]

On en conclut que :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = 0\]

Il en va de même si \(\mu(A) = 0\).

1.9. Opposé

Soit une fonction intégrable \(f\) et \(g = -f\). On a :

\begin{align} g^+(x) &= \max \{ g(x) , 0 \} = \max \{ -f(x) , 0 \} = f^-(x) \\ g^-(x) &= \max \{ -g(x) , 0 \} = \max \{ f(x) , 0 \} = f^+(x) \end{align}

et :

\[\int_A g(x) \ d\mu(x) = \int_A f^-(x) \ d\mu(x) - \int_A f^+(x) \ d\mu(x) = - \int_A f(x) \ d\mu(x)\]

L'intégrale de la fonction opposée est donc l'opposé de l'intégrale :

\[\int_A (-f(x)) \ d\mu(x) = - \int_A f(x) \ d\mu(x)\]

1.10. Multiplication par une fonction indicatrice

1.10.1. Fonctions positives

Soit une fonction \(f\) essentiellement positive et intégrable sur \(A\) et l'ensemble \(C \in \mathcal{T}\) vérifiant \(C \subseteq A\). Soit le réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\).

Comme le supremum est dans l'adhérence, on peut trouver une fonction \(u \in \mathcal{E}_A(f \cdot \indicatrice_C)\) telle que :

\[\abs{\int_A f(x) \cdot \indicatrice_C(x) \ d\mu(x) - \int_A u(x) \ d\mu(x)} \le \epsilon\]

On a donc :

\[\int_A f(x) \cdot \indicatrice_C(x) \ d\mu(x) - \epsilon \le \int_A u(x) \ d\mu(x)\]

Les ensembles \(A \setminus C\) et \(C\) étant disjoints et d'union égale à \(A\), on a aussi :

\[\int_A u(x) \ d\mu(x) = \int_{A \setminus C} u(x) \ d\mu(x) + \int_C u(x) \ d\mu(x)\]

Sur \(A \setminus C\), on a \(u \essinferieur f \cdot \indicatrice_C = 0\). La fonction \(u\) y est donc essentiellement négative. Son intégrale y est donc négative et :

\[\int_A u(x) \ d\mu(x) \le \int_C u(x) \ d\mu(x)\]

La fonction étagée \(u\) étant essentiellement inférieure à \(f\) sur \(C\), on a aussi :

\[\int_C u(x) \ d\mu(x) \le \int_C f(x) \ d\mu(x)\]

Rassemblant ces résultats, on obtient :

\[\int_A f(x) \cdot \indicatrice_C(x) \ d\mu(x) - \epsilon \le \int_C f(x) \ d\mu(x)\]

Cette inégalité étant satisfaite quel que soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on a :

\[\int_C f(x) \ d\mu(x) \ge \int_A f(x) \cdot \indicatrice_C(x) \ d\mu(x)\]

Comme le supremum est dans l'adhérence, on peut trouver un \(w \in \mathcal{E}_C(f)\) tel que :

\[\int_C f(x) \ d\mu(x) - \epsilon \le \int_C w(x) \ d\mu(x)\]

Considérons l'extension de \(w\) sur \(A\) définie par :

\( u =

\begin{cases} w & \text{ sur } C \\ 0 & \text{ sur } A \setminus C \end{cases}

On voit que \(u\) est une fonction étagée. On a :

\[\int_A u(x) \ d\mu(x) = \int_{A \setminus C} u(x) \ d\mu(x) + \int_C u(x) \ d\mu(x)\]

Sur \(A \setminus C\), \(u\) est nulle et l'intégrale correspondante l'est aussi. Sur \(C\), on a \(u = w\). Donc :

\[\int_A u(x) \ d\mu(x) = 0 + \int_C u(x) \ d\mu(x) = \int_C w(x) \ d\mu(x)\]

Comme :

\( u \essinferieur

\begin{cases} f & \text{ sur } C \\ 0 & \text{ sur } A \setminus C \end{cases}

on voit que \(u \in \mathcal{E}_A(f \cdot \indicatrice_C)\) et que :

\[\int_A u(x) \ d\mu(x) \le \int_A f(x) \cdot \indicatrice_C(x) \ d\mu(x)\]

par définition du supremum. En rassemblant ces résultats, on obtient :

\[\int_C f(x) \ d\mu(x) - \epsilon \le \int_A f(x) \cdot \indicatrice_C(x) \ d\mu(x)\]

Ce résultat étant vérifié pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on a finalement :

\[\int_C f(x) \ d\mu(x) \le \int_A f(x) \cdot \indicatrice_C(x) \ d\mu(x)\]

L'intégrale de \(f\) sur \(C\) étant à la fois inférieure et supérieure à l'intégrale de \(f \cdot \indicatrice_C\) sur \(A\), elle doit lui être égale :

\[\int_A f(x) \cdot \indicatrice_C(x) \ d\mu(x) = \int_C f(x) \ d\mu(x)\]

1.10.2. Généralisation

Soit une fonction \(f\) mesurable et sa décomposition en fonctions positives \(f = f^+ - f^-\). On voit que :

\[(f^+ - f^-) \cdot \indicatrice_C = f^+ \cdot \indicatrice_C - f^- \cdot \indicatrice_C\]

Comme on a aussi :

\( (f \cdot \indicatrice_C)^+ = f^+ \cdot \indicatrice_C \\ (f \cdot \indicatrice_C)^- = f^- \cdot \indicatrice_C \)

on en conclut que :

\begin{align} \int_A f(x) \cdot \indicatrice_C(x) \ d\mu(x) &= \int_A f^+(x) \cdot \indicatrice_C(x) \ d\mu(x) - \int_A f^-(x) \cdot \indicatrice_C(x) \ d\mu(x) \\ &= \int_C f^+(x) \ d\mu(x) - \int_C f^-(x) \ d\mu(x) \\ &= \int_C f(x) \ d\mu(x) \end{align}

1.11. Additivité

1.11.1. Fonctions positives

Soit deux ensembles \(A\) et \(B\) disjoints (\(A \cap B = \emptyset\)) et une fonction \(f\) essentiellement positive et mesurable sur \(A \cup B\). Comme \(A\) et \(B\) sont disjoints, on a \(\indicatrice[A \cap B] = 0\) et :

\[1 = \indicatrice[A \cup B](x) = \indicatrice_A(x) + \indicatrice_B(x)\]

pour tout \(x \in A \cup B\). Soit le réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\).

Comme le supremum est dans l'adhérence, on peut trouver des fonctions \(u \in \mathcal{E}_{A \cup B}(f \cdot \indicatrice_A)\) et \(v \in \mathcal{E}_{A \cup B}(f \cdot \indicatrice_B)\) telles que leurs intégrales soit situées à une distance inférieure à \(\epsilon\) des intégrales de \(f \cdot \indicatrice_A\) et \(f \cdot \indicatrice_B\). Comme \(A,B \subseteq A \cup B\), on a :

\begin{align} \int_{A \cup B} u(x) \ d\mu(x) &\ge \int_{A \cup B} f(x) \cdot \indicatrice_A(x) \ d\mu(x) - \epsilon \\ &\ge \int_A f(x) \ d\mu(x) - \epsilon \\ \int_{A \cup B} v(x) \ d\mu(x) &\ge \int_{A \cup B} f(x) \cdot \indicatrice_B(x) \ d\mu(x) - \epsilon \\ &\ge \int_B f(x) \ d\mu(x) - \epsilon \end{align}

Par linéarité des intégrales des fonctions étagées, on a :

\begin{align} \int_{A \cup B} [u(x) + v(x)] \ d\mu(x) &= \int_{A \cup B} u(x) \ d\mu(x) + \int_{A \cup B} v(x) \ d\mu(x) \\ &\ge \int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_B f(x) \ d\mu(x) - 2 \epsilon \end{align}

On voit que :

\[u + v \essinferieur f \cdot \indicatrice_A + f \cdot \indicatrice_B = f \cdot (\indicatrice_A + \indicatrice_B) = f\]

La fonction \(u + v\) est donc essentiellement inférieure à \(f\) et on a \(u + v \in \mathcal{E}_{A \cup B}(f)\). La définition du supremum nous montre alors que :

\[\int_{A \cup B} f(x) \ d\mu(x) \ge \int_{A \cup B} [u(x) + v(x)] \ d\mu(x)\]

En rassemblant ces résultats, on arrive à :

\[\int_{A \cup B} f(x) \ d\mu(x) \ge \int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_B f(x) \ d\mu(x) - 2 \epsilon\]

Ce résultat étant valable pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\) et aucune grandeur ne dépendant de \(\epsilon\), on a finalement :

\[\int_{A \cup B} f(x) \ d\mu(x) \ge \int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_B f(x) \ d\mu(x)\]

Le supremum étant dans l'adhérence, on peut trouver une fonction \(w \in \mathcal{E}_{A \cup B}(f)\) telle que :

\[\int_{A \cup B} f(x) \ d\mu(x) - \epsilon \le \int_{A \cup B} w(x) \ d\mu(x)\]

Posons \(u = w \cdot \indicatrice_A\) et \(v = w \cdot \indicatrice_B\). On a :

\[w = w \cdot (\indicatrice_A + \indicatrice_B) = w \cdot \indicatrice_A + w \cdot \indicatrice_B = u + v\]

La multiplication par une fonction indicatrice conservant le caractère étagé d'une fonction, \(u\) et \(v\) sont étagées. On a :

\( u =

\begin{cases} w & \text{ sur } A \\ 0 & \text{ sur } B \end{cases}

\essinferieur

\begin{cases} f & \text{ sur } A \\ 0 & \text{ sur } B \end{cases}

et :

\( v =

\begin{cases} 0 & \text{ sur } A \\ w & \text{ sur } B \end{cases}

\essinferieur

\begin{cases} 0 & \text{ sur } A \\ f & \text{ sur } B \end{cases}

On en conclut que \(u\) est essentiellement inférieure à \(f \cdot \indicatrice_A\) et que \(v\) est essentiellement inférieure à \(f \cdot \indicatrice_B\). On a \(u \in \mathcal{E}_{A \cup B}(f \cdot \indicatrice_A)\) et \(v \in \mathcal{E}_{A \cup B}(f \cdot \indicatrice_B)\). On peut donc écrire :

\( \int_{A \cup B} u(x) \ d\mu(x) \le \int_{A \cup B} f(x) \cdot \indicatrice_A(x) \ d\mu(x) \\ \int_{A \cup B} v(x) \ d\mu(x) \le \int_{A \cup B} f(x) \cdot \indicatrice_B(x) \ d\mu(x) \)

inégalités que l'on peut réécrire sous la forme :

\( \int_{A \cup B} u(x) \ d\mu(x) \le \int_A f(x) \ d\mu(x) \\ \int_{A \cup B} v(x) \ d\mu(x) \le \int_B f(x) \ d\mu(x) \)

En utilisant la linéarité des intégrales des fonctions étagées, on a :

\begin{align} \int_{A \cup B} f(x) \ d\mu(x) - \epsilon &\le \int_{A \cup B} w(x) \ d\mu(x) \\ &\le \int_{A \cup B} [u(x) + v(x)] \ d\mu(x) \\ &\le \int_{A \cup B} u(x) \ d\mu(x) + \int_{A \cup B} v(x) \ d\mu(x) \\ &\le \int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_B f(x) \ d\mu(x) \end{align}

Comme cette inégalité doit être valable pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on a finalement :

\[\int_{A \cup B} f(x) \ d\mu(x) \le \int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_B f(x) \ d\mu(x)\]

L'intégrale sur \(A \cup B\) devant être à la fois supérieure et inférieure à la somme de l'intégrale sur \(A\) et de l'intégrale sur \(B\), on en conclut que :

\[\int_{A \cup B} f(x) \ d\mu(x) = \int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_B f(x) \ d\mu(x)\]

1.11.2. Généralisation

Nous allons étendre le résultat précédent aux fonctions mesurables quelconques. Soit la fonction mesurable \(f\). En utilisant la décomposition en fonctions positives \(f = f^+ - f^-\), on obtient :

\begin{align} \int_{A \cup B} f(x) \ d\mu(x) &= \int_{A \cup B} f^+(x) - \int_{A \cup B} f^-(x) \ d\mu(x) \\ &= \int_A f^+ + \int_B f^+ - \int_A f^- - \int_B f^- \\ &= \int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_B f(x) \ d\mu(x) \end{align}

1.11.3. Corollaire

Si \(C \subseteq A\), les ensembles \(A \setminus C\) et \(C\) sont disjoints et d'union égale à \(A\). On a donc :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = \int_{A \setminus C} f(x) \ d\mu(x) + \int_C f(x) \ d\mu(x) \ge \int_C f(x) \ d\mu(x)\]

1.11.4. Invariance

Soit un sous-ensemble essentiel \(C\) de \(A\). On a alors \(C = A \setminus Z\) avec \(Z \subseteq A\) et \(\mu(Z) = 0\). Les ensembles \(C\) et \(Z = A \setminus C\) sont disjoints et d'union égale à \(A\). Comme l'intégrale de \(f\) sur l'ensemble de mesure nulle \(Z\) est nulle, on a :

\begin{align} \int_A f(x) \ d\mu(x) &= \int_C f(x) \ d\mu(x) + \int_Z f(x) \ d\mu(x) \\ &= \int_C f(x) \ d\mu(x) + 0 \\ &= \int_C f(x) \ d\mu(x) \end{align}

L'intégrale est invariante lorsqu'on ajoute ou s'abstrait d'un ensemble de mesure nulle.

1.12. Union

Soit à présent \(A,B \in \mathcal{T}\) quelconques et une fonction intégrable \(f : A \cup B \mapsto \setR\). Comme \(A \setminus B\) et \(B\) sont disjoints et d'union égale à \(A \cup B\), on a :

\[\int_{A \cup B} f(x) \ d\mu(x) = \int_{A \setminus B} f(x) \ d\mu(x) + \int_B f(x) \ d\mu(x)\]

On peut également décomposer \(A\) en les ensembles disjoints \(A \setminus B\) et \(A \cap B\). Donc :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = \int_{A \setminus B} f(x) \ d\mu(x) + \int_{A \cap B} f(x) \ d\mu(x)\]

et :

\[\int_{A \setminus B} f(x) \ d\mu(x) = \int_A f(x) \ d\mu(x) - \int_{A \cap B} f(x) \ d\mu(x)\]

En injectant cette relation dans l'expression de l'intégrale sur \(A \cup B\), on obtient :

\[\int_{A \cup B} f(x) \ d\mu(x) = \int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_B f(x) \ d\mu(x) - \int_{A \cap B} f(x) \ d\mu(x)\]

1.12.1. Corollaire

Si l'ensemble \(A \cap B\) vérifie \(\mu(A \cap B) = 0\), l'intégrale correspondante est nulle et :

\[\int_{A \cup B} f(x) \ d\mu(x) = \int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_B f(x) \ d\mu(x)\]

Il suffit donc d'avoir une intersection de mesure nulle (et pas forcément vide) pour vérifier l'additivité.

1.13. Convergence des mesures

Soit une fonction \(f : A \mapsto \setR\) essentiellement positive et intégrable. On a :

\[I = \int_A f(x) \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty\]

Posons :

\( C(\alpha) = \{ x \in A : f(x) \le \alpha \} \\ Z(\alpha) = \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur \alpha \} \)

pour tout \(\alpha \in \setR\). Il est clair que \(A = C(\alpha) \cup Z(\alpha)\). On a :

\[\int_{Z(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) \le \int_{C(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) + \int_{Z(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) = I\]

Mais comme \(f \esssuperieur \alpha\) sur \(Z(\alpha)\), on a :

\[\infessentiel_{x \in Z(\alpha)} f(x) \ge \alpha\]

et :

\[\mu(Z(\alpha)) \cdot \alpha \le \mu(Z(\alpha)) \cdot \infessentiel_{x \in Z(\alpha)} f(x) \le \int_{Z(\alpha)} f(x) \ d\mu(x)\]

Rassemblant ces résultats, il vient :

\[\mu(Z(\alpha)) \cdot \alpha \le I\]

Soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Si on choisit \(\alpha \ge I / \epsilon\), on a :

\[\mu(Z(\alpha)) \le \frac{I}{\alpha} \le \epsilon\]

On en déduit que :

\[\lim_{\alpha \to +\infty} \mu(Z(\alpha)) = \lim_{\alpha \to +\infty} \mu(\{ x \in A : f(x) \strictsuperieur \alpha \}) = 0\]

1.14. Convergence des intégrales

Soit une fonction \(f : A \mapsto \setR\) essentiellement positive et intégrable. On a :

\[I = \int_A f(x) \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty\]

Soit la collection \(\{ C(\alpha) \in \sousens(A) : \alpha \in \setR \}\) et la collection associée \(\{ Z(\alpha) \in \sousens(A) : \alpha \in \setR \}\) définie par :

\[Z(\alpha) = A \setminus C(\alpha)\]

Nous supposons que :

\[\lim_{\alpha \to \infty} \mu(Z(\alpha)) = 0\]

et que \(Z(\alpha) \subseteq Z(\beta)\) pour tout \(\alpha,\beta \in \setR\) vérifiant \(\alpha \ge \beta\).

Soit le réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Comme le supremum est dans l'adhérence, on peut trouver un \(w \in \mathcal{E}_A(f)\) tel que :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) \le \int_A w(x) \ d\mu(x) + \epsilon\]

Comme \(A = C(\alpha) \cup Z(\alpha)\), on a :

\( \int_A f(x) \ d\mu(x) = \int_{C(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) + \int_{Z(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) \\ \\ \int_A w(x) \ d\mu(x) = \int_{C(\alpha)} w(x) \ d\mu(x) + \int_{Z(\alpha)} w(x) \ d\mu(x) \)

pour tout \(\alpha \in \setR\). On en déduit que :

\[\int_{Z(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) \le \int_{C(\alpha)} w(x) \ d\mu(x) - \int_{C(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) + \int_{Z(\alpha)} w(x) \ d\mu(x) + \epsilon\]

Soit la fonction \(I : \setR \mapsto \setR\) définie par :

\[I(\alpha) = \int_{Z(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) \ge 0\]

On sait que \(w \essinferieur f\). Par conséquent, \(\int w \le \int f\) sur \(C(\alpha)\) et :

\[I(\alpha) \le \int_{Z(\alpha)} w(x) \ d\mu(x) + \epsilon\]

Comme \(w\) est une fonction étagée, son supremum existe :

\[M = \supessentiel_{x \in A} w(x)\]

De plus, on a \(C(\alpha) \subseteq A\) pour tout \(\alpha \in \setR\), d'où :

\[S(\alpha) = \supessentiel_{x \in C(\alpha)} w(x) \le M\]

On a donc :

\[\int_{Z(\alpha)} w(x) \ d\mu(x) \le \mu(Z(\alpha)) \cdot S(\alpha) \le \mu(Z(\alpha)) \cdot M\]

et :

\[I(\alpha) \le \mu(Z(\alpha)) \cdot M + \epsilon\]

pour tout \(\alpha \in \setR\). Si \(\alpha \ge \beta\), on a \(Z(\alpha) \subseteq Z(\beta)\), d'où \(I(\alpha) \le I(\beta)\). La fonction \(I\) est décroissante et minorée par zéro. Elle admet donc une limite à l'infini. Comme \(M\) ne dépend pas de \(\alpha\), on a :

\[\lim_{\alpha \to +\infty} [\mu(Z(\alpha)) \cdot M + \epsilon] = 0 \cdot M + \epsilon = \epsilon\]

La limite de cette expression existe donc, et \(\limsup = \lim\). On en conclut que :

\[0 \le \lim_{\alpha \to +\infty} I(\alpha) \le \epsilon\]

Ce résultat devant être satisfait pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on a :

\[\lim_{\alpha \to +\infty} I(\alpha) = 0\]

c'est-à-dire :

\[\lim_{\alpha \to +\infty} \int_{Z(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) = 0\]

1.14.1. Corollaire

On en déduit que :

\begin{align} \int_A f(x) \ d\mu(x) &= \lim_{\alpha \to +\infty} \int_{C(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) + \lim_{\alpha \to +\infty} \int_{Z(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) \\ &= \lim_{\alpha \to +\infty} \int_{C(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) + 0 \end{align}

d'où :

\[\lim_{\alpha \to +\infty} \int_{C(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) = \int_A f(x) \ d\mu(x)\]

1.14.2. Généralisation

Soit \(f\) est une fonction intégrable de signe quelconque et sa décomposition en fonctions positives \(f = f^+ - f^-\). On a :

\( \lim_{\alpha \to +\infty} \int_{C(\alpha)} f^+(x) \ d\mu(x) = \int_A f^+(x) \ d\mu(x) \\ \\ \lim_{\alpha \to +\infty} \int_{C(\alpha)} f^-(x) \ d\mu(x) = \int_A f^-(x) \ d\mu(x) \)

On en déduit que :

\begin{align} \lim_{\alpha \to +\infty} \int_{C(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) &= \lim_{\alpha \to +\infty} \int_{C(\alpha)} f^+ - \lim_{\alpha \to +\infty} \int_{C(\alpha)} f^- \\ &= \int_A f^+ - \int_A f^- \\ &= \int_A f(x) \ d\mu(x) \end{align}

1.15. Adhérence

Soit un ensemble \(A\) vérifiant \(\mu(A) \strictsuperieur 0\) et une fonction \(f : A \mapsto \setR\) mesurable, essentiellement positive et majorée :

\[M = \supessentiel_{x \in A} f(x) \strictinferieur +\infty\]

Comme \(\mu(A) \strictsuperieur 0\) et \(f \esssuperieur 0\), on a :

\[M \ge \infessentiel_{x \in A} f(x) \ge 0\]

Soit :

\[\Theta = \left\{ \supessentiel_{x \in A} [f(x) - w(x)] : w \in \mathcal{E}_A(f) \right\}\]

et :

\[\lambda = \inf_{w \in \mathcal{E}_A(f)} \supessentiel_{x \in A} [f(x) - w(x)]\]

Comme la fonction nulle \(0 \in \mathcal{E}_A(f)\), on a :

\[\lambda \le \supessentiel_{x \in A} [f(x) - 0] = M\]

Choisissons \(w \in \mathcal{E}_A(f)\). On a \(w \essinferieur f\), d'où \(f - w \esssuperieur 0\) et :

\[\supessentiel_{x \in A} [f(x) - w(x)] \ge \infessentiel_{x \in A} [f(x) - w(x)] \ge 0\]

Donc \(\Theta \ge 0\) et \(\lambda = \inf \Theta \ge 0\).

Si \(M = 0\), on a également \(\lambda \le 0\), d'où \(\lambda = 0\). Supposons à présent que \(M \strictsuperieur 0\). Nous allons construire une suite \(\{ w_n : n \in \setN \} \subseteq \mathcal{E}_A(f)\) convergeant vers \(f\) au sens du supremum essentiel. Posons \(w_0 = 0 \in \mathcal{E}_A(f)\), le réel \(\Delta_0 = M / 2\) et l'ensemble :

\[A_0 = \{ x \in A : f(x) - w_0(x) \strictsuperieur \Delta_0 \}\]

On construit ensuite la fonction \(w_1\) par :

\( w₁ = w₀ + Δ₀ ⋅ \indicatrice[A_0] =

\begin{cases} w_0 + \Delta_0 & \text{ sur } A_0 \\ w_0 & \text{ sur } A \setminus A_0 \end{cases}

La fonction \(\Delta_0 \cdot \indicatrice[A_0]\) étant étagée, \(w_1\) l'est aussi. En utilisant \(w_0 \essinferieur f\) sur \(A\) et \(w_0 + \Delta_0 \strictinferieur f\) sur \(A_0\), on obtient :

\( w₁ =

\begin{cases} w_0 + \Delta_0 & \text{ sur } A_0 \\ w_0 & \text{ sur } A \setminus A_0 \end{cases}

\essinferieur

\begin{cases} f & \text{ sur } A_0 \\ f & \text{ sur } A \setminus A_0 \end{cases}

On en conclut que \(w_1 \essinferieur f\) et que \(w_1 \in \mathcal{E}_A(f)\). Sur \(A \setminus A_0\), on a par définition \(f - w_1 = f - w_0 \le \Delta_0\). Sur \(A_0\), on a :

\[f - w_1 = f - w_0 - \Delta_0 \le M - \frac{M}{2} = \frac{M}{2}\]

On en conclut que :

\[\supessentiel_{x \in A} [f(x) - w_1(x)] \le \frac{M}{2} = \Delta_0\]

Supposons à présent être arrivé à l'étape \(n - 1\) avec la fonction étagée \(w_{n - 1}\) vérifiant \(w_{n - 1} \essinferieur f\) et :

\[\supessentiel_{x \in A} [f(x) - w_{n - 1}(x)] \le \Delta_{n - 1}\]

On construit l'étape \(n\) par :

\begin{align} \Delta_n &= \Delta_{n - 1} / 2 \\ A_n &= \{ x \in A : f(x) - w_{n - 1}(x) \strictsuperieur \Delta_n \} \\ w_n &= w_{n - 1} + \Delta_n \cdot \indicatrice[A_n] \end{align}

La fonction \(\Delta_n \cdot \indicatrice[A_n]\) étant étagée, \(w_n\) l'est aussi. En utilisant \(w_{n - 1} \essinferieur f\) sur \(A\) et \(w_{n - 1} + \Delta_n \strictinferieur f\) sur \(A_n\), on obtient :

\( w_n =

\begin{cases} w_{n - 1} + \Delta_n & \text{ sur } A_n \\ w_{n - 1} & \text{ sur } A \setminus A_n \end{cases}

\essinferieur

\begin{cases} f & \text{ sur } A_n \\ f & \text{ sur } A \setminus A_n \end{cases}

On en conclut que \(w_n \essinferieur f\) et que \(w_n \in \mathcal{E}_A(f)\). Sur \(A \setminus A_n\), on a \(f - w_n = f - w_{n - 1} \le \Delta_n\). Sur \(A_n\), on a :

\[f - w_n = f - w_{n - 1} - \Delta_n \le \Delta_{n - 1} - \Delta_n = 2 \Delta_n - \Delta_n = \Delta_n\]

On a donc :

\[\supessentiel_{x \in A} [f(x) - w_n(x)] \le \Delta_n\]

Comme :

\[\Delta_n = \frac{\Delta_{n - 1}}{2} = ... = \frac{\Delta_0}{2^{n - 1}} = \frac{M}{2^n}\]

On voit que :

\[0 \le \supessentiel_{x \in A} [f(x) - w_n(x)] \le \frac{M}{2^n}\]

Comme :

\[\limsup_{n \to \infty} \frac{M}{2^n} = \liminf_{n \to \infty} 0 = 0\]

la limite de \(\supessentiel_{x \in A} [f(x) - w_n(x)]\) existe et :

\[\lim_{n \to \infty} \supessentiel_{x \in A} [f(x) - w_n(x)] = 0\]

Pour tout réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on peut donc trouver un \(n\) tel que :

\[\supessentiel_{x \in A} [f(x) - w_m(x)] \le \epsilon\]

pour tout \(m \in \setN\) vérifiant \(m \ge n\). Par conséquent, \(\lambda\) ne peut pas être strictement positif et :

\[\inf_{w \in \mathcal{E}_A(f)} \supessentiel_{x \in A} [f(x) - w(x)] = 0\]

1.16. Multiplication par un réel

Soit une fonction intégrable \(f\) essentiellement positive et le réel \(\lambda \strictsuperieur 0\). Si \(w\) est une fonction étagée, on voit que \(w \le f \Leftrightarrow \lambda \cdot w \le \lambda \cdot f\). On peut donc associer une fonction \(\lambda \cdot w \in \mathcal{E}_A(\lambda \cdot f)\) à toute fonction \(w \in \mathcal{E}_A(f)\), et réciproquement. Par linéarité de l'intégrale des fonctions étagées, on en conclut que :

\[\int_A \lambda \cdot w(x) \ d\mu(x) = \lambda \cdot \int_A w(x) \ d\mu(x)\]

En passant au supremum sur \(w \in \mathcal{E}_A(f) \Leftrightarrow \lambda \cdot w \in \mathcal{E}_A(\lambda \cdot f)\), on obtient donc :

\[\int_A \lambda \cdot f(x) \ d\mu(x) = \lambda \cdot \int_A f(x) \ d\mu(x)\]

Le même résultat est bien évidemment vérifié lorsque \(\lambda = 0\). Lorsque \(\lambda \strictinferieur 0\), on pose \(\alpha = - \lambda \strictsuperieur 0\). On a alors :

\begin{align} \int_A \lambda \cdot f(x) \ d\mu(x) &= \int_A - \alpha \cdot f(x) \ d\mu(x) \\ &= - \int_A \alpha \cdot f(x) \ d\mu(x) \\ &= - \alpha \int_A f(x) \ d\mu(x) \\ &= \lambda \int_A f(x) \ d\mu(x) \end{align}

Nous avons donc prouvé la relation pour tout \(\lambda \in \setR\).

1.17. Addition

1.17.1. Positives et majorées

Soit deux fonctions \(f,g : A \mapsto \setR\) intégrables, essentiellement positives et majorées :

\( \supessentiel \{ f(x) : x \in A \} \strictinferieur +\infty \\ \supessentiel \{ g(x) : x \in A \} \strictinferieur +\infty \)

Soit le réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\).

Le supremum étant dans l'adhérence, on peut trouver un \(u \in \mathcal{E}_A(f)\) tel que :

\[\int_A u(x) \ d\mu(x) \ge \int_A f(x) \ d\mu(x) - \epsilon\]

et un \(v \in \mathcal{E}_A(g)\) tel que :

\[\int_A v(x) \ d\mu(x) \ge \int_A g(x) \ d\mu(x) - \epsilon\]

On sait que \(u + v\) est une fonction étagée. Les conditions \(u \essinferieur f\) et \(v \essinferieur g\) impliquent que \(u + v \essinferieur f + g\). On a donc \(u + v \in \mathcal{E}_A(f + g)\). En utilisant la linéarité des intégrales de fonctions étagées et la définition du supremum, il vient :

\begin{align} \int_A u(x) \ d\mu(x) + \int_A v(x) \ d\mu(x) &= \int_A [u(x) + v(x)] \ d\mu(x) \\ &\le \int_A [f(x) + g(x)] \ d\mu(x) \end{align}

En rassemblant ces résultats, on obtient :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_A g(x) \ d\mu(x) - 2 \epsilon \le \int_A [f(x) + g(x)] \ d\mu(x)\]

Cette relation étant valable quel que soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on a :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_A g(x) \ d\mu(x) \le \int_A [f(x) + g(x)] \ d\mu(x)\]

Comme \(f\) et \(g\) sont essentiellement majorées, on peut trouver un \(u \in \mathcal{E}_A(f)\) et un \(v \in \mathcal{E}_A(g)\) vérifiant :

\( \supessentiel \{ f(x) - u(x) : x \in A \} \le \epsilon \\ \supessentiel \{ g(x) - v(x) : x \in A) \} \le \epsilon \)

Donc \(f \essinferieur u + \epsilon\) et \(g \essinferieur v + \epsilon\). On en conclut que \(f + g \essinferieur u + v + 2 \epsilon\), d'où :

\begin{align} \int_A [f(x) + g(x)] \ d\mu(x) &\le \int_A [u(x) + v(x) + 2 \epsilon] \ d\mu(x) \\ &\le \int_A u(x) \ d\mu(x) + \int_A v(x) \ d\mu(x) + 2 \epsilon \cdot \mu(A) \end{align}

par linéarité des intégrales de fonctions étagées. On a aussi, par définition du supremum :

\( \int_A u(x) \ d\mu(x) \le \int_A f(x) \ d\mu(x) \\ \\ \int_A v(x) \ d\mu(x) \le \int_A g(x) \ d\mu(x) \)

On a finalement la borne :

\[\int_A [f(x) + g(x)] \ d\mu(x) \le \int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_A g(x) \ d\mu(x) + 2 \epsilon \cdot \mu(A)\]

Cette inégalité devant être satisfaite pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on en déduit que :

\[\int_A [f(x) + g(x)] \ d\mu(x) \le \int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_A g(x) \ d\mu(x)\]

L'intégrale de \(f + g\) devant être simultanément supérieure et inférieure à la somme de l'intégrale de \(f\) et de l'intégrale de \(g\), on en conclut que :

\[\int_A [f(x) + g(x)] \ d\mu(x) = \int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_A g(x) \ d\mu(x)\]

1.17.2. Positives

Soit deux fonctions \(f,g\) intégrables et essentiellement positives. Posons :

\( F(\alpha) = \{ x \in A : f(x) \le \alpha \} \\ G(\alpha) = \{ x \in A : g(x) \le \alpha \} \)

et :

\( N(\alpha) = \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur \alpha \} = A \setminus F(\alpha) \\ T(\alpha) = \{ x \in A : g(x) \strictsuperieur \alpha \} = A \setminus G(\alpha) \)

pour tout \(\alpha \in \setR\). Pour tous réels \(\alpha,\beta\) vérifiant \(\alpha \ge \beta\), il est clair que \(N(\alpha) \subseteq N(\beta)\) et \(T(\alpha) \subseteq T(\beta)\). Soit :

\[C(\alpha) = F(\alpha) \cap G(\alpha) = A \setminus (N(\alpha) \cup T(\alpha))\]

et :

\[Z(\alpha) = A \setminus C(\alpha) = N(\alpha) \cup T(\alpha)\]

Choisissons des réels \(\alpha,\beta\) tels que \(\alpha \ge \beta\) et un \(x \in Z(\alpha)\). On a soit \(x \in N(\alpha)\), d'où \(x \in N(\beta)\) et \(x \in Z(\beta)\), soit \(x \in T(\alpha)\), d'où \(x \in T(\beta)\) et \(x \in Z(\beta)\). On en conclut que \(Z(\alpha) \subseteq Z(\beta)\). On voit que :

\[0 \le \mu(Z(\alpha)) \le \mu(N(\alpha)) + \mu(T(\alpha))\]

Comme :

\[\limsup_{\alpha \to +\infty} [\mu(N(\alpha)) + \mu(T(\alpha))] = \liminf_{\alpha \to +\infty} 0 = 0\]

la fonction \(\alpha \mapsto \mu(Z(\alpha))\) converge et :

\[\lim_{\alpha \to +\infty} \mu(Z(\alpha)) = 0\]

Si \(\varphi\) est intégrable, par exemple \(\varphi \in \{f, g, f + g\}\), on a donc :

\[\lim_{\alpha \to +\infty} \int_{C(\alpha)} \varphi(x) \ d\mu(x) = \int_A \varphi(x) \ d\mu(x)\]

Sur \(C(\alpha) \subseteq F(\alpha)\), on a \(0 \essinferieur f \essinferieur \alpha\). Le supremum essentiel existe par conséquent sur \(C(\alpha)\) et :

\[0 \le \supessentiel \{ f(x) : x \in C(\alpha) \} \le \alpha\]

On conclut de même que :

\[0 \le \supessentiel \{ g(x) : x \in C(\alpha) \} \le \alpha\]

Les fonctions \(f\) et \(g\) sont donc essentiellement majorées sur \(C(\alpha)\) et on a :

\[\int_{C(\alpha)} [f(x) + g(x)] \ d\mu(x) = \int_{C(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) + \int_{C(\alpha)} g(x) \ d\mu(x)\]

Passant à la limite pour \(\alpha \to +\infty\), on obtient alors :

\[\int_A [f(x) + g(x)] \ d\mu(x) = \int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_A g(x) \ d\mu(x)\]

1.17.3. Soustraction

Soit \(f,g\) deux fonctions intégrables essentiellement positives vérifiant \(h = f - g \esssuperieur 0\). Comme \(f = g + h\), on a :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = \int_A g(x) \ d\mu(x) + \int_A h(x) \ d\mu(x)\]

On en déduit que :

\[\int_A h(x) \ d\mu(x) = \int_A f(x) \ d\mu(x) - \int_A g(x) \ d\mu(x)\]

c'est-à-dire :

\[\int_A [f(x) - g(x)] \ d\mu(x) = \int_A f(x) \ d\mu(x) - \int_A g(x) \ d\mu(x)\]

1.17.4. Généralisation

Soit deux fonctions intégrables \(f,g\) et leurs décompositions en fonctions positives \(f = f^+ - f^-\) et \(g = g^+ - g^-\). Posons :

\( s^+ = f^+ + g^+ \\ s^- = f^- + g^- \)

On a :

\[f + g = f^+ - f^- + g^+ - g^- = (f^+ + g^+) - (f^- + g^-) = s^+ - s^-\]

Décomposons \(A\) en les ensembles :

\( P = \{ x \in A : s^+(x) - s^-(x) \ge 0 \} \\ M = \{ x \in A : s^+(x) - s^-(x) \strictinferieur 0 \} \)

Comme \(s^+ - s^- \esssuperieur 0\) sur \(P\), on a :

\[\int_P [s^+(x) - s^-(x)] \ d\mu(x) = \int_P s^+(x) \ d\mu(x) - \int_P s^-(x) \ d\mu(x)\]

Comme \(s^+ - s^- \essinferieur 0\) sur \(M\), on y a \(s^- - s^+ \esssuperieur 0\) et :

\begin{align} \int_M [s^+(x) - s^-(x)] \ d\mu(x) &= - \int_M [s^-(x) - s^+(x)] \ d\mu(x) \\ &= - \left[ \int_M s^-(x) \ d\mu(x) - \int_M s^+(x) \ d\mu(x) \right] \\ &= \int_M s^+(x) \ d\mu(x) - \int_M s^-(x) \ d\mu(x) \end{align}

Rassemblant ces résultats, il vient :

\begin{align} \int_A [f(x) + g(x)] \ d\mu(x) &= \int_A [s^+(x) - s^-(x)] \ d\mu(x) \\ &= \int_P [s^+(x) - s^-(x)] \ d\mu(x) + \int_M [s^+(x) - s^-(x)] \ d\mu(x) \\ &= \int_P s^+ - \int_P s^- + \int_M s^+ - \int_M s^- \\ &= \int_A s^+ - \int_A s^- \\ &= \int_A [f^+(x) + g^+(x)] \ d\mu(x) - \int_A [f^-(x) + g^-(x)] \ d\mu(x) \\ &= \int_A f^+ + \int_A g^+ - \int_A f^- - \int_A g^- \\ &= \int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_A g(x) \ d\mu(x) \end{align}

L'intégrale d'une somme est la somme des intégrales.

1.18. Linéarité

Soit les réels \(\alpha,\beta\) et les fonctions intégrables \(f,g : A \mapsto \setR\). On a :

\begin{align} \int_A [\alpha \cdot f(x) + \beta \cdot g(x)] \ d\mu(x) &= \int_A \alpha \cdot f(x) \ d\mu(x) + \int_A \beta \cdot g(x) \ d\mu(x) \\ &= \alpha \cdot \int_A f(x) \ d\mu(x) + \beta \cdot \int_A g(x) \ d\mu(x) \end{align}

L'intégrale est linéaire.