Eclats de vers : Matemat 07 : Intégrales

• Chapitre \ref{chap:ensemble} : Les ensembles
• Chapitre \ref{chap:ordre} : Les ordres et extréma
• Chapitre \ref{chap:fonction} : Les fonctions

L'objectif des mesures est de « mesurer » des ensembles, ou plutôt des sous-ensembles d'un ensemble donné. Soit l'ensemble \(\Omega\) et une tribu de sous-ensembles \(\mathcal{T} \subseteq \sousens(\Omega)\). Une mesure sur \(\mathcal{T}\) est une fonction \(\mu : \mathcal{T} \mapsto \setR\) associant une valeur réelle à chaque ensemble de la tribu. On demande que cette mesure soit positive :

\[\mu(A) \ge 0\]

pour tout \(A \in \mathcal{T}\). Il semble également logique que la mesure d'un ensemble vide soit nulle :

\[\mu(\emptyset) = 0\]

Pour toute suite discrète (finie ou infinie) \(\{ A_1,A_2,... \} \subseteq \mathcal{T}\) d'ensembles disjoints deux à deux, on a :

\[A_i \cap A_j = \emptyset\]

pour tout \((i,j)\) tels que \(i \ne j\). On exige dans ce cas que la mesure vérifie la propriété d'additivité :

\[\mu\left( \bigcup_i A_i \right) = \sum_i \mu(A_i)\]

La mesure de Lebesgue \(\mu_L\) est définie sur la tribu \(\mathcal{T}\) engendrée par les ensembles ouverts de \(\setR\). Elle exprime simplement la longueur d'un intervalle. Pour tout :

\[I \in \big\{ \ [a,b], \intervalleouvert{a}{b}, \intervallesemiouvertgauche{a}{b}, \intervallesemiouvertdroite{a}{b} \big\}\]

on a simplement :

\[\mu_L(I) = b - a\]

Soit \(\mathfrak{J}\) l'ensemble des collections au plus dénombrables d'intervalles ouverts disjoints. Pour tout \(A \in \mathcal{T}\), on définit :

\[\mu_I(A) = \inf \accolades{ \sum_{n \in N} \mu_L(I_n) : \{ I_n : n \in N \subseteq \setN \} \in \mathfrak{J} , \ A \subseteq \bigcup_{n \in N} I_n}\]

et :

\[\mu^S(A) = \sup \accolades{ \sum_{n \in N} \mu_L(I_n) : \{ I_n : n \in N \subseteq \setN \} \in \mathfrak{J} , \ \bigcup_{n \in N} I_n \subseteq A }\]

Si :

\[\mu_I(A) = \mu^S(A)\]

on dit que l'ensemble \(A\) est mesurable au sens de Lebesgue et on définit :

\[\mu_L(A) = \mu_I(A) = \mu^S(A)\]

On associe à toute fonction croissante \(g : \setR \mapsto \setR\) une mesure de Stieltjes \(\mu_g\). Pour tout :

\[I \in \big\{ \ [a,b], \intervalleouvert{a}{b}, \intervallesemiouvertgauche{a}{b}, \intervallesemiouvertdroite{a}{b} \big\}\]

on définit :

\[\mu_g(I) = g(b) - g(a)\]

Soit \(\mathfrak{J}\) l'ensemble des collections au plus dénombrables d'intervalles ouverts disjoints. Pour tout \(A \in \mathcal{T}\), on définit :

\[\mu_g(A) = \inf \accolades{ \sum_{n \in N} \mu_L(I_n) : \{ I_n : n \in N \subseteq \setN \} \in \mathfrak{J} , \ A \subseteq \bigcup_{n \in N} I_n}\]

La mesure de Dirac \(\mu_D^a\) en \(a\) est définie sur \(\sousens(\Omega)\). Il s'agit d'une mesure permettant de détecter si un \(A \subseteq \Omega\) donné contient \(a\). Elle est donc basée sur les fonctions indicatrices :

Soit les tribus \(\mathcal{T}_1\) et \(\mathcal{T}_2\) et la tribu produit :

\[\mathcal{P} = \{ A \times B : A \in \mathcal{T}_1, \ B \in \mathcal{T}_2 \}\]

A partir de mesures \(\mu : \mathcal{T}_1 \mapsto \setR\) et \(\nu : \mathcal{T}_2 \mapsto \setR\), on peut construire une mesure produit \(\mu \otimes \nu : \mathcal{P} \mapsto \setR\) par :

\[(\mu \otimes \nu)(A \times B) = \mu(A) \cdot \nu(B)\]

On dit qu'une fonction \(f : A \mapsto \setR\) est mesurable (au sens de la tribu \(\mathcal{T}\)) si la relation \(f^{-1}\) vérifie \(f^{-1}(]a,+\infty[) \in \mathcal{T}\) et \(f^{-1}(]-\infty,a[) \in \mathcal{T}\) pour tout \(a \in \setR\). On a donc :

Soit une fonction mesurable \(f : A \mapsto \setR\). On a :

On en déduit que la fonction opposée \(-f\) est mesurable.

Soit la suite \(\{ f_n : n \in \setN \}\) de fonctions mesurables. Posons :

On a :

On en conclut que \(\sup_n f_n\) est mesurable. Symétriquement, on a :

On en conclut que \(\inf_n f_n\) est mesurable.

• Chapitre \ref{chap:mesure} : Les mesures

Soit la mesure \(\mu : \mathcal{T} \mapsto \setR\) et l'ensemble \(A \in \mathcal{T}\). On a envie de dire que tout sous-ensemble de mesure nulle de \(A\) est « négligeable ». L'essentiel de l'information demeurera donc si on s'abstrait d'un quelconque ensemble \(N \subseteq A\) vérifiant \(N \in \mathcal{T}\) et \(\mu(N) = 0\). Le résultat de cette abstraction, soit \(A \setminus N\), est appelé sous-ensemble essentiel de \(A\). On note :

\[\essentiel(A) = \{ A \setminus N : N \subseteq A, \ N \in \mathcal{T}, \ \mu(N) = 0 \}\]

l'ensemble des sous-ensembles essentiels de \(A\).

Soit \(E \in \essentiel(A)\). On peut alors trouver \(Z \in \mathcal{T}\) tel que \(Z \subseteq A\), \(E = A \setminus Z\) et vérifiant \(\mu(Z) = 0\). Comme les ensembles \(E\) et \(Z\) sont disjoints et d'union égale à \(A\), on a :

\[\mu(A) = \mu(E) + \mu(Z) = \mu(E) + 0 = \mu(E)\]

On a donc :

\[\mu(E) = \mu(A)\]

pour tout sous-ensemble essentiel \(E \in \essentiel(A)\).

Soit une suite d'ensembles \(\{ A_n \in \mathcal{T} : n \in \setN \}\) telle que \(A_m \subseteq A_n\) pour tout naturels \(m,n\) vérifiant \(m \le n\). Posons :

\[A = \bigcup_{n \in \setN} A_n \in \mathcal{T}\]

Considérons la suite d'ensemble \(\{D_n \subseteq A : n \in \setN \}\) définie par :

pour tout \(n \ge 1\). Comme \(A_{n - 1}, D_n \subseteq A_n\), on a \(A_n = A_{n - 1} \cup D_n\). Nous allons montrer par récurrence que :

\[A_n = \bigcup_{k = 0}^n D_k\]

On sait que c'est vrai pour \(n = 0\). Supposons que ce soit vrai pour \(n - 1\). On a :

\[A_n = D_n \cup A_{n - 1} = D_n \cup \bigcup_{k = 0}^{n - 1} D_k = \bigcup_{k = 0}^n D_k\]

Si \(x\) appartient à au moins un des \(A_n\), il appartient à au moins un des \(D_k\) pour \(0 \le k \le n\), et inversément. On en déduit que :

\[A = \bigcup_{n \in \setN} A_n = \bigcup_{k \in \setN} D_k\]

Soit les naturels \(i,j\) avec \(i \ne j\). Soit \(m = \max \{ i, j \}\) et \(n = \min \{ i,j \}\). Si \(D_i = \emptyset\) ou si \(D_j = \emptyset\), on a forcément \(D_i \cap D_j = \emptyset\). Sinon, soit \(x \in D_m\). On a alors \(x \in A_m\) et \(x \notin A_{m - 1}\). Comme \(i \ne j\), on a \(m - 1 \ge n\) et \(A_n \subseteq A_{m - 1}\). On en déduit que :

\[x \notin A_n = \bigcup_{k = 0}^n D_k \subseteq A_{m - 1}\]

En particulier, \(x\) ne peut pas appartenir à \(D_n\). On en conclut que \(D_i \cap D_j = D_m \cap D_n = \emptyset\). Les propriétés de la mesure nous disent alors que :

\[\mu(A_n) = \sum_{k = 0}^n \mu(D_k)\]

et que :

\[\mu(A) = \sum_{n \in \setN} \mu(D_n)\]

Par définition de la somme infinie sur \(\setN\), on a :

\[\sum_{n \in \setN} \mu(D_n) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^n \mu(D_k)\]

et donc :

\[\lim_{n \to \infty} \mu(A_n) = \mu(A)\]

Soit une suite d'ensembles \(\{ A_n \in \mathcal{T} : n \in \setN \}\) telle que, pour tout \(n \in \setN\), on puisse trouver un sous-ensemble essentiel \(E_n \subseteq A_n\) vérifiant \(E_n \subseteq A_{n + 1}\). Posons :

\[A = \bigcup_{n \in \setN} A_n \in \mathcal{T}\]

Pour tout \(n \in \setN\), on peut donc trouver un \(Z_n \subseteq A_n\) vérifiant \(\mu(Z_n) = 0\) et \(E_n = A_n \setminus Z_n \subseteq A_{n + 1}\). Notons \(Z\) l'union de ces ensembles :

\[Z = \bigcup_{n \in \setN} Z_n\]

et analysons le comportement des \(C_n = A_n \setminus Z\). Notons \(C\) l'union de ces ensembles. On a :

\[C = \bigcup_{n \in \setN} C_n = \bigcup_{n \in \setN} A_n \setminus Z = A \setminus Z\]

Supposons que \(x \in C_n\). On a alors \(x \in A_n\) et \(x \notin Z_n\), d'où \(x \in A_{n + 1}\). Comme \(x \notin Z\), on a aussi \(x \in A_{n + 1} \setminus Z = C_{n + 1}\). On en conclut que \(C_n \subseteq C_{n + 1}\). La récurrence :

\[C_0 \subseteq C_1 \subseteq C_2 \subseteq C_3 \subseteq ...\]

nous montre alors que \(C_m \subseteq C_n\) pour tout \(m,n \in \setN\) vérifiant \(m \le n\). La mesure converge par conséquent vers la mesure de l'union :

\[\lim_{n \to \infty} \mu(C_n) = \mu(C) = \mu(A \setminus Z)\]

Mais comme \(C\) est un sous-ensemble essentiel de \(A\), on a \(\mu(C) = \mu(A)\). Pour la même raison, on a \(\mu(C_n) = \mu(A_n)\). On a donc finalement :

\[\lim_{n \to \infty} \mu(A_n) = \mu(A)\]

Soit les fonctions \(f,g,h : A \mapsto \setR\) telles que :

Si on pose :

on a \(\mu(Z) = \mu(N) = 0\). Comme une union finie d'ensembles de mesure nulle est de mesure nulle, on a \(\mu(N \cup Z) = 0\). Pour tout \(A \setminus (N \cup Z)\), on a \(f(x) \le g(x)\) et \(g(x) \le h(x)\). On en déduit que \(f(x) \le h(x)\). Notre \(f\) est donc inférieure à \(h\) sur \(A\) sauf sur l'ensemble de mesure nulle \(N \cup Z\). On en conclut que la fonction étagée \(f\) est essentiellement inférieure à \(h\) :

\[f \essinferieur h\]

Supposons que \(f \essinferieur g\) et que \(u \essinferieur v\). Les ensembles :

sont de mesure nulle. Leur union est donc également de mesure nulle et on a bien entendu \(f(x) + u(x) \le g(x) + v(x)\) sur \(A \setminus (Z \cup N)\) c'est-à-dire sur une sous-ensemble essentiel de \(A\). On en conclut que :

\[f + u \essinferieur g + v\]

Supposons que \(f \essinferieur g\) et que \(u \esssuperieur v\). Les ensembles :

sont de mesure nulle. Leur union est donc également de mesure nulle et on a bien entendu \(f(x) - u(x) \le g(x) - v(x)\) sur \(A \setminus (Z \cup N)\) c'est-à-dire sur une sous-ensemble essentiel de \(A\). On en conclut que :

\[f - u \essinferieur g - v\]

On dit que \(f\) est essentiellement égale à \(g\), et on le note :

\[f \essegal g\]

si et seulement si \(f \essinferieur g\) et \(f \esssuperieur g\). Les ensembles :

sont alors de mesure nulle. Donc, l'ensemble :

\[D = \{ x \in A : f(x) \ne g(x)\} = Z \cup N\]

est également de mesure nulle.

• Chapitre \ref{chap:mesure} : Les mesures

Soit la fonction mesurable \(f : A \mapsto \setR\).

Soit une fonction mesurable \(f : A \mapsto \setR\). Pour tout \(\sigma \in \setR\), notons :

\[\Psi(\sigma) = \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur \sigma \}\]

Comme on ne se soucie pas des ensembles de mesure nulle, on peut choisir (si elle existe) une borne supérieure \(\sigma \in \setR\) telle que \(f \essinferieur \sigma\), ce qui revient à imposer que \(\mu(\Psi(\sigma)) = 0\). Notons :

\[\Theta = \{ \sigma \in \setR : f \essinferieur \sigma \} = \{ \sigma \in \setR : \mu(\Psi(\sigma)) = 0 \}\]

La finalité des bornes étant d'encadrer au plus près un ensemble, nous considérons l'infimum (s'il existe) des réels \(\sigma\) possédant cette propriété, et nous l'appelons supremum essentiel :

\[\supessentiel_{x \in A} f(x) = \inf \Theta\]

Symétriquement, on note :

\[\Gamma(\lambda) = \{ x \in A : f(x) \strictinferieur \lambda \}\]

pour tout \(\lambda \in \setR\) et :

\[\Lambda = \{ \lambda \in \setR : f \esssuperieur \lambda \} = \{ \lambda \in \setR : \mu(\Gamma(\lambda)) = 0 \}\]

Si le supremum de \(\Lambda\) existe, on définit alors l'infimum essentiel par :

\[\infessentiel_{x \in A} f(x) = \sup \Lambda\]

Nous disposons donc des bornes :

Supposons que \(A\) soit de mesure strictement positive et que \(\Theta \cap \Lambda \ne \emptyset\). Pour tout \(\alpha \in \setR\), posons :

\[\Xi(\alpha) = \{ x \in A : f(x) = \alpha \}\]

et :

\[\Upsilon(\alpha) = \{ x \in A : f(x) \ne \alpha \}\]

Il est clair que :

\[A = \Xi(\alpha) \cup \Upsilon(\alpha)\]

Comme imposer la différence revient à imposer soit la supériorité soit l'infériorité stricte, on a :

\[\Upsilon(\alpha) = \Psi(\alpha) \cup \Gamma(\alpha)\]

Soit à présent \(\alpha \in \Theta \cap \Lambda\). Comme \(\mu(\Psi(\alpha)) = \mu(\Gamma(\alpha)) = 0\), leur union est également de mesure nulle :

\[\mu(\Upsilon(\alpha)) = 0\]

Si l'intersection \(\Theta \cap \Lambda\) n'est pas vide, la fonction \(f\) est donc essentiellement constante sur \(A\) et \(\Xi(\alpha) = A \setminus \Upsilon(\alpha)\) est un sous-ensemble essentiel de \(A\). On a donc \(\mu(\Xi(\alpha)) = \mu(A) \strictsuperieur 0\). Soit à présent \(\beta \in \setR\) et supposons que \(\beta \ne \alpha\). Si \(f(x) = \beta\), on a forcément \(f(x) \ne \alpha\), donc :

\[\Xi(\beta) = \{ x \in A : f(x) = \beta \} \subseteq \{ x \in A : f(x) \ne \alpha \}\]

L'ensemble \(\Xi(\beta)\) étant inclus dans un ensemble de mesure nulle, on doit avoir \(\mu(\Xi(\beta)) = 0\). Comme \(\mu(\Xi(\alpha)) \strictsuperieur 0\) pour tout \(\alpha \in \Theta \cap \Lambda\), \(\beta\) ne peut pas appartenir à \(\Theta \cap \Lambda\). On en conclut que l'intersection vérifie soit :

\[\Theta \cap \Lambda = \emptyset\]

soit :

\[\Theta \cap \Lambda = \{ \alpha \}\]

pour un certain \(\alpha \in \setR\).

Soit les fonctions \(f,g : A \mapsto \setR\) telles que \(f \essinferieur g\).

Soit les fonctions \(f,g : A \mapsto \setR\).

• Chapitre \ref{chap:fonction} : Les fonctions
• Chapitre \ref{chap:mesure} : Les mesures

Soit la mesure \(\mu : \mathcal{T} \mapsto \setR\), l'ensemble \(\Phi \in \mathcal{T}\) et \(A \in \mathcal{T}\) vérifiant \(A \subseteq \Phi\). On dit que la fonction \(w : \Phi \to \setR\) est étagée sur \(A\) si on peut trouver une collection finie \(\{ A_1, ..., A_n \} \subseteq \mathcal{T}\) formant une partition de \(A\) et des réels \(w_i \in \setR\) tels que :

\[w(x) = \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \indicatrice_{A_i}(x)\]

pour tout \(x \in A\). On note \(\etagee(A)\) l'ensemble des fonctions étagées sur \(A\).

Soit \(a \in \setR\). Comme :

\[\{ x \in A : w(x) \strictsuperieur a \} = \bigcup \{ A_i : i \in \{1,...,n\}, \ w_i \strictsuperieur a \}\]

et que l'union s'opère sur un nombre fini d'ensembles, on a :

\[\{ x \in A : w(x) \strictsuperieur a \} \in \mathcal{T}\]

On a aussi :

\[\{ x \in A : w(x) \strictinferieur a \} = \bigcup \{ A_i : i \in \{1,...,n\}, \ w_i \strictinferieur a \} \in \mathcal{T}\]

Les fonctions étagées sont mesurables.

Soit \(B \subseteq A\). On a :

Soit \(B_i = A_i \cap B\). La fonction \(u = w \cdot \indicatrice_B\) peut se définir par :

\[u(x) = w(x) \cdot \indicatrice_B(x) = \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \indicatrice_{B_i}(x)\]

pour tout \(x \in A\). Si \(i \ne j\), on a :

\[B_i \cap B_j = (A_i \cap B) \cap (A_j \cap B) = (A_i \cap A_j) \cap B = \emptyset\]

L'union des \(B_i\) nous donne :

\[\bigcup_i B_i = \bigcup_i (A_i \cap B) = B \cap \bigcup_i A_i = B \cap A = B\]

On en conclut que les ensembles \(B_i\) forment une partition de \(B\). La fonction \(u\) est donc une fonction étagée sur \(B\). Comme \(u\) est nulle sur \(A \setminus B\), on a même :

\[u = 0 \cdot \indicatrice[A \setminus B] + \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \indicatrice_{B_i}\]

ce qui montre que \(u\) est une fonction étagée sur \((A \setminus B) \cup B = A\).

L'intégrale d'une mesure \(\mu : \mathcal{T} \mapsto \setR\) sur \(A \in \mathcal{T}\) est simplement la mesure de \(A\) :

\[\int_A d\mu(x) = \mu(A)\]

On étend la définition aux constantes \(c \in \setR\) par linéarité :

\[\int_A c \ d\mu(x) = c \cdot \int_A d\mu(x) = c \cdot \mu(A)\]

Soit un ensemble \(A\) et une fonction \(w \in \etagee(A)\). On peut trouver des \(w_i \in \setR\) et des \(A_i \in \mathcal{T}\) formant une partition de \(A\) et tels que :

\[w(x) = \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \indicatrice_{A_i}(x)\]

pour tout \(x \in A\). On étend la définition de l'intégrale en imposant la linéarité :

\[\int_A w(x) \ d\mu(x) = \sum_{i = 1}^n \int_{A_i} w(x) \ d\mu(x)\]

La fonction étagée \(w\) étant constante et valant \(w_i\) sur chaque \(A_i\), on a :

\[\int_{A_i} w(x) \ d\mu(x) = \int_{A_i} w_i \ d\mu(x) = w_i \cdot \mu(A_i)\]

et finalement :

\[\int_A w(x) \ d\mu(x) = \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \mu(A_i)\]

Nous allons vérifier que, pour une fonction étagée \(w\) donnée, l'intégrale ainsi définie ne dépend pas de la partition utilisée. Soit les collections finies d'ensembles \(A_i \in \mathcal{T}\) et \(B_j \in \mathcal{T}\) telles que \(\{A_1,A_2,...,A_m\}\) et \(\{B_1,B_2,...,B_n\}\) forment deux partitions de \(A\) et telles que l'on puisse trouver des \(a_i,b_j \in \setR\) vérifiant :

\[w(x) = \sum_{i = 1}^m a_i \cdot \indicatrice[A_i](x) = \sum_{j = 1}^n b_j \cdot \indicatrice[B_j](x)\]

pour tout \(x \in A\).

Soit les fonctions étagées \(u,v \in \etagee(A)\) vérifiant \(u \essinferieur v\). Soit les partitions \(\{U_1,...,U_m\}\) et \(\{V_1,...,V_n\}\) et les réels \(u_i,v_j\) tels que :

pour tout \(x \in A\). Si \(W_{ij} = U_i \cap V_j\), on sait que :

Posons \(P = \{1,...,m\} \times \{1,...,n\}\) et :

\[M = \{ (i,j) \in P : \mu(W_{ij}) \strictsuperieur 0 \}\]

Considérons le choix \((i,j) \in P\) et \(x \in W_{ij}\). Comme \(u\) est essentiellement inférieure à \(v\), on doit avoir \(u_i \le v_j\) dès que \(\mu(W_{ij}) \strictsuperieur 0\), c'est-à-dire lorsque \((i,j) \in M\). Examinons à présent les intégrales. Les mesures des \(W_{ij}\) s'annulant pour tout \((i,j) \in P \setminus M\), on a :

\[\int_A u(x) \ d\mu(x) = \sum_{i,j} u_i \cdot \mu(W_{ij}) = \sum_{(i,j) \in M} u_i \cdot \mu(W_{ij})\]

et :

\[\int_A v(x) \ d\mu(x) = \sum_{i,j} v_j \cdot \mu(W_{ij}) = \sum_{(i,j) \in M} v_j \cdot \mu(W_{ij})\]

La propriété \(u_i \le v_j\) étant vérifiée pour tout \((i,j) \in M\), on en conclut que :

\[\int_A u(x) \ d\mu(x) \le \int_A v(x) \ d\mu(x)\]

L'intégrale conserve l'ordre essentiel entre fonctions étagées.

Soit \(w \in \etagee(A)\). Comme les constantes sont des cas particuliers de fonctions étagées et que l'on a :

\[\infessentiel_{x \in A} w(x) \essinferieur w \essinferieur \supessentiel_{x \in A} w(x)\]

on en conclut en intégrant que :

\[\mu(A) \cdot \infessentiel_{x \in A} w(x) \le \int_A w(x) \ d\mu(x) \le \mu(A) \cdot \supessentiel_{x \in A} w(x)\]

Soit \(w \in \etagee(A)\). Si \(u\) est une fonction étagée vérifiant \(u \essinferieur w\), l'intégrale de \(u\) est inférieure à l'intégrale de \(w\). Par ailleurs, le choix \(u = w \essinferieur w\) reproduit bien entendu l'intégrale de \(w\). On en conclut que :

\[\int_A w(x) \ d\mu(x) = \sup \left\{ \int_A u(x) \ d\mu(x) : u \in \etagee(A), \ u \essinferieur w \right\}\]

On aboutit avec un raisonnement analogue à :

\[\int_A w(x) \ d\mu(x) = \inf \left\{ \int_A v(x) \ d\mu(x) : v \in \etagee(A), \ v \esssuperieur w \right\}\]

Soit les ensembles \(A\) et \(B\) disjoints :

\[A \cap B = \emptyset\]

et une fonction \(w \in \etagee(A \cup B)\). On peut trouver des \(w_i \in \setR\) et des \(C_i \in \mathcal{T}\) formant une partition de \(A \cup B\) et tels que :

\[w(x) = \sum_i w_i \cdot \indicatrice_{C_i}(x)\]

pour tout \(x \in A\). On sait que les \(A_i = C_i \cap A\) forment une partition de \(A\) et que les \(B_i = C_i \cap B\) forment une partition de \(B\). On a aussi :

\[A_i \cap B_i = C_i \cap A \cap C_i \cap B = C_i \cap (A \cap B) = \emptyset\]

Comme :

\[C_i = C_i \cap (A \cup B) = (C_i \cap A) \cup (C_i \cap B) = A_i \cup B_i\]

on a \(\indicatrice[C_i] = \indicatrice[A_i] + \indicatrice[B_i]\) et :

Evaluons l'intégrale de \(w\) sur \(A \cup B\). Il vient :

L'intégrale des fonctions étagées est donc additive sur les ensembles concernés.

Soit \(u,v \in \etagee(A)\). On peut trouver des \(u_i,v_j \in \setR\) et des \(U_i,V_i \in \mathcal{T}\) tels que \(\{U_1,...,U_n\}\) et \(\{V_1,...,V_m\}\) forment des partitions de \(A\) et vérifiant :

pour tout \(x \in A\). Nous avons vu que les intersections \(W_{ij} = U_i \cup V_j \in \mathcal{T}\) forment aussi une partition de \(A\) et qu'elles possèdent les propriétés :

et :

Les fonctions \(u,v\) peuvent donc également s'exprimer comme :

Soit un ensemble \(A\) vérifiant \(\mu(A) = 0\) et une fonction \(w\) étagée sur \(A\) définie par :

\[w(x) = \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \indicatrice_{A_i}(x)\]

pour tout \(x \in A\). Les \(w_i\) sont bien entendu des réels et les \(A_i\) forment une partition de \(A\). Comme les \(A_i\) sont inclus dans l'ensemble \(A\) qui est de mesure nulle, on a \(\mu(A_i) = 0\). L'intégrale s'écrit donc :

\[\int_A w(x) \ d\mu(x) = \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \mu(A_i) = \sum_{i = 1}^n w_i \cdot 0 = 0\]

L'intégrale d'une fonction étagée sur un ensemble de mesure nulle est nulle.

Soit la mesure \(\mu : \mathcal{T} \mapsto \setR\), l'ensemble \(A \in \mathcal{T}\), une fonction mesurable \(f : A \mapsto \setR\) et une fonction étagée \(w \in \etagee(A)\). Considérons un choix de \(w_i \in \setR\) et de \(A_i \in \mathcal{T}\) formant une partition de \(A\) et tels que :

\[w(x) = \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \indicatrice_{A_i}(x)\]

pour tout \(x \in A\).

• Chapitre \ref{chap:ensemble} : Les ensembles
• Chapitre \ref{chap:ordre} : Les ordres et extréma
• Chapitre \ref{chap:fonction} : Les fonctions

On considère une fonction mesurable \(f : A \mapsto \setR\) et les fonctions positives associées \(f^+,f^- : A \mapsto \setR\) définies par :

On constate que les ensembles suivant sont dans la tribu :

On a clairement \(A = A^+ \cup A^0 \cup A^-\). On voit que :

• Sur \(A^+\), on a \(f^+ = f \strictsuperieur 0\) et \(f^- = 0\)
• Sur \(A^0\), on a \(f^+ = f = 0\) et \(f^- = -f = 0\)
• Sur \(A^-\) on a \(f^+ = 0\) et \(f^- = -f \strictsuperieur 0\)

• Chapitre \ref{chap:fonction} : Les fonctions
• Chapitre \ref{chap:mesure} : Les mesures

Soit une fonction \(f : A \mapsto \setR\) mesurable et essentiellement positive (\(f \esssuperieur 0\)) :

\[\mu(\{x : f(x) \strictinferieur 0\}) = 0\]

Pour toute fonction étagée \(w : A \mapsto \setR\), on sait que la fonction \(w - f\) est mesurable. Le réel :

\[\mu(\{ x \in A : w(x) \strictsuperieur f(x) \}) = \mu(\{ x \in A : w(x) - f(x) \strictsuperieur 0 \})\]

est donc bien défini. On peut dès lors introduire l'ensemble des fonctions étagées \(w\) essentiellement inférieures à \(f\) :

\[\mathcal{E}_A(f) = \{ w \in \etagee(A) : w \essinferieur f \}\]

Evaluant les intégrales des fonctions étagées appartenant à \(\mathcal{E}_A(f)\), on obtient l'ensemble de réels associé :

\[\mathcal{I}_A(f) = \left\{ \int_A w(x) \ d\mu(x) \ : w \in \mathcal{E}_A(f) \right\}\]

Cet ensemble est non vide car \(0 \in \mathcal{E}_A(f)\) produit une intégrale \(0 \in \mathcal{I}_A(f)\). Deux cas peuvent se présenter :

• L'ensemble de réels \(\mathcal{I}_A(f)\) est majoré. Il admet donc un supremum. Nous pouvons alors définir l'intégrale de \(f\) sur \(A\) par :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = \sup \left\{ \int_A w(x) \ d\mu(x) \ : w \in \mathcal{E}_A(f) \right\}\]

On dit alors que \(f\) est intégrable sur \(A\). On le note parfois :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty\]

• Dans le cas contraire, on a \(\sup \mathcal{I}_A(f) = +\infty\). On définit par analogie :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = +\infty\]

Soit une fonction mesurable \(f : A \mapsto \setR\). On peut décomposer \(f\) en fonctions positives \(f^+,f^- : A \mapsto \setR\) définies par :

pour tout \(x \in A\). On a alors :

\[f = f^+ - f^-\]

Les fonctions \(f^+\) et \(f^-\) étant également mesurables, leurs intégrales sont bien définies (finies ou infinies). Plusieurs cas peuvent se présenter :

• Les fonctions \(f^+\) et \(f^-\) sont intégrables sur \(A\). On étend alors la définition de l'intégrale par :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = \int_A f^+(x) \ d\mu(x) - \int_A f^-(x) \ d\mu(x)\]

On dit alors que \(f\) est intégrable.

• La fonction \(f^+\) produit une intégrale infinie, mais \(f^-\) est intégrable sur \(A\). On définit alors :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = +\infty\]

• La fonction \(f^-\) produit une intégrale infinie, mais \(f^+\) est intégrable sur \(A\). On définit alors :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = -\infty\]

• Si aucune des fonction \(f^+,f^-\) n'est intégrable, l'intégrale de \(f\) n'est pas définie.

Soit une fonction \(f\) mesurable et essentiellement positive. Posons :

\[\mathcal{F}_A(f) = \{ w \in \etagee(A) : w \esssuperieur f \}\]

et :

\[\mathcal{J}_A(f) = \left\{ \int_A w(x) \ d\mu(x) \ : w \in \mathcal{F}_A(f) \right\}\]

Si \(f\) est intégrable et que son intégrale vérifie la dualité :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = \sup \mathcal{I}_A(f) = \inf \mathcal{J}_A(f)\]

on dit que \(f\) est intégrable au sens de Riemann.

Soit une fonction \(f\) mesurable et essentiellement positive.

La valeur moyenne d'une fonction \(f\) sur \(A\) est définie par :

\[M = \unsur{\mu(A)} \int_A f(x) \ d\mu(x)\]

Soit une fonction intégrable \(f : A \mapsto \setR\).

• Si \(f\) est essentiellement majorée, on a :

\[f \essinferieur \supessentiel \{ f(x) : x \in A \}\]

En intégrant sur \(A\), il vient :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) \le \mu(A) \cdot \supessentiel_{x \in A} f(x)\]

• Si \(f\) est essentiellement minorée, on a :

\[f \esssuperieur \infessentiel \{ f(x) : x \in A \}\]

En intégrant sur \(A\), il vient :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) \ge \mu(A) \cdot \infessentiel_{x \in A} f(x)\]

• Si \(f\) est majorée et minorée, et si \(A\) est de mesure non nulle, on peut réexprimer ces bornes en terme de valeur moyenne de \(f\) :

\[\infessentiel_{x \in A} f(x) \le \unsur{\mu(A)} \int_A f(x) \ d\mu(x) \le \supessentiel_{x \in A} f(x)\]

Soit une fonction intégrable \(f\) et \(g = -f\). On a :

et :

\[\int_A g(x) \ d\mu(x) = \int_A f^-(x) \ d\mu(x) - \int_A f^+(x) \ d\mu(x) = - \int_A f(x) \ d\mu(x)\]

L'intégrale de la fonction opposée est donc l'opposé de l'intégrale :

\[\int_A (-f(x)) \ d\mu(x) = - \int_A f(x) \ d\mu(x)\]

Soit à présent \(A,B \in \mathcal{T}\) quelconques et une fonction intégrable \(f : A \cup B \mapsto \setR\). Comme \(A \setminus B\) et \(B\) sont disjoints et d'union égale à \(A \cup B\), on a :

\[\int_{A \cup B} f(x) \ d\mu(x) = \int_{A \setminus B} f(x) \ d\mu(x) + \int_B f(x) \ d\mu(x)\]

On peut également décomposer \(A\) en les ensembles disjoints \(A \setminus B\) et \(A \cap B\). Donc :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = \int_{A \setminus B} f(x) \ d\mu(x) + \int_{A \cap B} f(x) \ d\mu(x)\]

et :

\[\int_{A \setminus B} f(x) \ d\mu(x) = \int_A f(x) \ d\mu(x) - \int_{A \cap B} f(x) \ d\mu(x)\]

En injectant cette relation dans l'expression de l'intégrale sur \(A \cup B\), on obtient :

\[\int_{A \cup B} f(x) \ d\mu(x) = \int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_B f(x) \ d\mu(x) - \int_{A \cap B} f(x) \ d\mu(x)\]

Soit une fonction \(f : A \mapsto \setR\) essentiellement positive et intégrable. On a :

\[I = \int_A f(x) \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty\]

Posons :

pour tout \(\alpha \in \setR\). Il est clair que \(A = C(\alpha) \cup Z(\alpha)\). On a :

\[\int_{Z(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) \le \int_{C(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) + \int_{Z(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) = I\]

Mais comme \(f \esssuperieur \alpha\) sur \(Z(\alpha)\), on a :

\[\infessentiel_{x \in Z(\alpha)} f(x) \ge \alpha\]

et :

\[\mu(Z(\alpha)) \cdot \alpha \le \mu(Z(\alpha)) \cdot \infessentiel_{x \in Z(\alpha)} f(x) \le \int_{Z(\alpha)} f(x) \ d\mu(x)\]

Rassemblant ces résultats, il vient :

\[\mu(Z(\alpha)) \cdot \alpha \le I\]

Soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Si on choisit \(\alpha \ge I / \epsilon\), on a :

\[\mu(Z(\alpha)) \le \frac{I}{\alpha} \le \epsilon\]

On en déduit que :

\[\lim_{\alpha \to +\infty} \mu(Z(\alpha)) = \lim_{\alpha \to +\infty} \mu(\{ x \in A : f(x) \strictsuperieur \alpha \}) = 0\]

Soit une fonction \(f : A \mapsto \setR\) essentiellement positive et intégrable. On a :

\[I = \int_A f(x) \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty\]

Soit la collection \(\{ C(\alpha) \in \sousens(A) : \alpha \in \setR \}\) et la collection associée \(\{ Z(\alpha) \in \sousens(A) : \alpha \in \setR \}\) définie par :

\[Z(\alpha) = A \setminus C(\alpha)\]

Nous supposons que :

\[\lim_{\alpha \to \infty} \mu(Z(\alpha)) = 0\]

et que \(Z(\alpha) \subseteq Z(\beta)\) pour tout \(\alpha,\beta \in \setR\) vérifiant \(\alpha \ge \beta\).

Soit le réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Comme le supremum est dans l'adhérence, on peut trouver un \(w \in \mathcal{E}_A(f)\) tel que :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) \le \int_A w(x) \ d\mu(x) + \epsilon\]

Comme \(A = C(\alpha) \cup Z(\alpha)\), on a :

pour tout \(\alpha \in \setR\). On en déduit que :

\[\int_{Z(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) \le \int_{C(\alpha)} w(x) \ d\mu(x) - \int_{C(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) + \int_{Z(\alpha)} w(x) \ d\mu(x) + \epsilon\]

Soit la fonction \(I : \setR \mapsto \setR\) définie par :

\[I(\alpha) = \int_{Z(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) \ge 0\]

On sait que \(w \essinferieur f\). Par conséquent, \(\int w \le \int f\) sur \(C(\alpha)\) et :

\[I(\alpha) \le \int_{Z(\alpha)} w(x) \ d\mu(x) + \epsilon\]

Comme \(w\) est une fonction étagée, son supremum existe :

\[M = \supessentiel_{x \in A} w(x)\]

De plus, on a \(C(\alpha) \subseteq A\) pour tout \(\alpha \in \setR\), d'où :

\[S(\alpha) = \supessentiel_{x \in C(\alpha)} w(x) \le M\]

On a donc :

\[\int_{Z(\alpha)} w(x) \ d\mu(x) \le \mu(Z(\alpha)) \cdot S(\alpha) \le \mu(Z(\alpha)) \cdot M\]

et :

\[I(\alpha) \le \mu(Z(\alpha)) \cdot M + \epsilon\]

pour tout \(\alpha \in \setR\). Si \(\alpha \ge \beta\), on a \(Z(\alpha) \subseteq Z(\beta)\), d'où \(I(\alpha) \le I(\beta)\). La fonction \(I\) est décroissante et minorée par zéro. Elle admet donc une limite à l'infini. Comme \(M\) ne dépend pas de \(\alpha\), on a :

\[\lim_{\alpha \to +\infty} [\mu(Z(\alpha)) \cdot M + \epsilon] = 0 \cdot M + \epsilon = \epsilon\]

La limite de cette expression existe donc, et \(\limsup = \lim\). On en conclut que :

\[0 \le \lim_{\alpha \to +\infty} I(\alpha) \le \epsilon\]

Ce résultat devant être satisfait pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on a :

\[\lim_{\alpha \to +\infty} I(\alpha) = 0\]

c'est-à-dire :

\[\lim_{\alpha \to +\infty} \int_{Z(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) = 0\]

Soit un ensemble \(A\) vérifiant \(\mu(A) \strictsuperieur 0\) et une fonction \(f : A \mapsto \setR\) mesurable, essentiellement positive et majorée :

\[M = \supessentiel_{x \in A} f(x) \strictinferieur +\infty\]

Comme \(\mu(A) \strictsuperieur 0\) et \(f \esssuperieur 0\), on a :

\[M \ge \infessentiel_{x \in A} f(x) \ge 0\]

Soit :

\[\Theta = \left\{ \supessentiel_{x \in A} [f(x) - w(x)] : w \in \mathcal{E}_A(f) \right\}\]

et :

\[\lambda = \inf_{w \in \mathcal{E}_A(f)} \supessentiel_{x \in A} [f(x) - w(x)]\]

Comme la fonction nulle \(0 \in \mathcal{E}_A(f)\), on a :

\[\lambda \le \supessentiel_{x \in A} [f(x) - 0] = M\]

Choisissons \(w \in \mathcal{E}_A(f)\). On a \(w \essinferieur f\), d'où \(f - w \esssuperieur 0\) et :

\[\supessentiel_{x \in A} [f(x) - w(x)] \ge \infessentiel_{x \in A} [f(x) - w(x)] \ge 0\]

Donc \(\Theta \ge 0\) et \(\lambda = \inf \Theta \ge 0\).

Si \(M = 0\), on a également \(\lambda \le 0\), d'où \(\lambda = 0\). Supposons à présent que \(M \strictsuperieur 0\). Nous allons construire une suite \(\{ w_n : n \in \setN \} \subseteq \mathcal{E}_A(f)\) convergeant vers \(f\) au sens du supremum essentiel. Posons \(w_0 = 0 \in \mathcal{E}_A(f)\), le réel \(\Delta_0 = M / 2\) et l'ensemble :

\[A_0 = \{ x \in A : f(x) - w_0(x) \strictsuperieur \Delta_0 \}\]

On construit ensuite la fonction \(w_1\) par :

La fonction \(\Delta_0 \cdot \indicatrice[A_0]\) étant étagée, \(w_1\) l'est aussi. En utilisant \(w_0 \essinferieur f\) sur \(A\) et \(w_0 + \Delta_0 \strictinferieur f\) sur \(A_0\), on obtient :

On en conclut que \(w_1 \essinferieur f\) et que \(w_1 \in \mathcal{E}_A(f)\). Sur \(A \setminus A_0\), on a par définition \(f - w_1 = f - w_0 \le \Delta_0\). Sur \(A_0\), on a :

\[f - w_1 = f - w_0 - \Delta_0 \le M - \frac{M}{2} = \frac{M}{2}\]

On en conclut que :

\[\supessentiel_{x \in A} [f(x) - w_1(x)] \le \frac{M}{2} = \Delta_0\]

Supposons à présent être arrivé à l'étape \(n - 1\) avec la fonction étagée \(w_{n - 1}\) vérifiant \(w_{n - 1} \essinferieur f\) et :

\[\supessentiel_{x \in A} [f(x) - w_{n - 1}(x)] \le \Delta_{n - 1}\]

On construit l'étape \(n\) par :

La fonction \(\Delta_n \cdot \indicatrice[A_n]\) étant étagée, \(w_n\) l'est aussi. En utilisant \(w_{n - 1} \essinferieur f\) sur \(A\) et \(w_{n - 1} + \Delta_n \strictinferieur f\) sur \(A_n\), on obtient :

On en conclut que \(w_n \essinferieur f\) et que \(w_n \in \mathcal{E}_A(f)\). Sur \(A \setminus A_n\), on a \(f - w_n = f - w_{n - 1} \le \Delta_n\). Sur \(A_n\), on a :

\[f - w_n = f - w_{n - 1} - \Delta_n \le \Delta_{n - 1} - \Delta_n = 2 \Delta_n - \Delta_n = \Delta_n\]

On a donc :

\[\supessentiel_{x \in A} [f(x) - w_n(x)] \le \Delta_n\]

Comme :

\[\Delta_n = \frac{\Delta_{n - 1}}{2} = ... = \frac{\Delta_0}{2^{n - 1}} = \frac{M}{2^n}\]

On voit que :

\[0 \le \supessentiel_{x \in A} [f(x) - w_n(x)] \le \frac{M}{2^n}\]

Comme :

\[\limsup_{n \to \infty} \frac{M}{2^n} = \liminf_{n \to \infty} 0 = 0\]

la limite de \(\supessentiel_{x \in A} [f(x) - w_n(x)]\) existe et :

\[\lim_{n \to \infty} \supessentiel_{x \in A} [f(x) - w_n(x)] = 0\]

Pour tout réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on peut donc trouver un \(n\) tel que :

\[\supessentiel_{x \in A} [f(x) - w_m(x)] \le \epsilon\]

pour tout \(m \in \setN\) vérifiant \(m \ge n\). Par conséquent, \(\lambda\) ne peut pas être strictement positif et :

\[\inf_{w \in \mathcal{E}_A(f)} \supessentiel_{x \in A} [f(x) - w(x)] = 0\]

Soit une fonction intégrable \(f\) essentiellement positive et le réel \(\lambda \strictsuperieur 0\). Si \(w\) est une fonction étagée, on voit que \(w \le f \Leftrightarrow \lambda \cdot w \le \lambda \cdot f\). On peut donc associer une fonction \(\lambda \cdot w \in \mathcal{E}_A(\lambda \cdot f)\) à toute fonction \(w \in \mathcal{E}_A(f)\), et réciproquement. Par linéarité de l'intégrale des fonctions étagées, on en conclut que :

\[\int_A \lambda \cdot w(x) \ d\mu(x) = \lambda \cdot \int_A w(x) \ d\mu(x)\]

En passant au supremum sur \(w \in \mathcal{E}_A(f) \Leftrightarrow \lambda \cdot w \in \mathcal{E}_A(\lambda \cdot f)\), on obtient donc :

\[\int_A \lambda \cdot f(x) \ d\mu(x) = \lambda \cdot \int_A f(x) \ d\mu(x)\]

Le même résultat est bien évidemment vérifié lorsque \(\lambda = 0\). Lorsque \(\lambda \strictinferieur 0\), on pose \(\alpha = - \lambda \strictsuperieur 0\). On a alors :

Nous avons donc prouvé la relation pour tout \(\lambda \in \setR\).

Soit les réels \(\alpha,\beta\) et les fonctions intégrables \(f,g : A \mapsto \setR\). On a :

L'intégrale est linéaire.

Soit les mesures \(\gamma, \lambda\) et la mesure \(\mu\) définie par :

\[\mu = \gamma + \lambda\]

Soit un ensemble \(A\) et une fonction \(w \in \etagee(A)\). On peut trouver des \(w_i \in \setR\) et des \(A_i \in \mathcal{T}\) formant une partition de \(A\) et tels que :

\[w(x) = \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \indicatrice_{A_i}(x)\]

On a alors :

En passant au suprémum sur toutes les fonctions étagées \(w\) essentiellement inférieures à une fonction positive intégrable, puis en utilisant la définition d'une fonction intégrable \(f\) on en déduit que :

\[\int_A f(x) \ d(\gamma + \lambda)(x) = \int_A f(x) \ d\gamma(x) + \int_A f(x) \ d\lambda(x)\]

Soit \(A \subseteq \setR^n\) et \(\mu_L\) la mesure de Lebesgue. On note alors \(d\mu_L(x) = dx\) ou :

\[d\mu_L(x) = dx = dx_1 \ ... \ dx_n\]

et :

\[\int_A f(x) \ dx = \int_A f(x) \ d\mu_L(x)\]

Soit la fonction croissante \(\gamma : A \mapsto \setR\). L'intégrale de Stieltjes associée à \(\gamma\) se note :

\[\int_A f(x) \ d\gamma(x)\]

Elle se définit d'après la mesure de Stieltjes \(\mu_\gamma\) associée à \(\gamma\) :

\[\int_A f(x) \ d\gamma(x) = \int_A f(x) \ d\mu_\gamma(x)\]

Soit une fonction essentiellement positive \(\varphi\) telle que la fonction \(\mu\) associée définie par :

\[\mu(A) = \int_A \varphi(x) \ dx\]

soit une mesure. Considérons une fonction \(w \in \mathcal{E}_A(f)\), avec :

\[w = \sum_i w_i \cdot \indicatrice_{A_i}\]

où les \(A_i\) forment une partition de \(A\) et où les \(w_i \in \setR\). On a alors :

\[\int_A w(x) \ d\mu(x) = \sum_i w_i \cdot \int_{A_i} \varphi(x) \ dx\]

Par linéarité de l'intégrale, on voit aussi que :

On en conclut que :

\[\int_A w(x) \ d\mu(x) = \int_A w(x) \cdot \varphi(x) \ dx\]

Comme \(\varphi\) est positive, on a l'équivalence entre \(w \essinferieur f\) et \(w \cdot \varphi \essinferieur f \cdot \varphi\). En passant au supremum, on obtient donc :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = \int_A f(x) \cdot \varphi(x) \ dx\]

pour toute fonction intégrable \(f : A \to \setR\). On note symboliquement :

\[d\mu(x) = \varphi(x) \ dx\]

L'intégrale d'une fonction \(f : \setR \to \setR\) par rapport à une mesure de Dirac \(\mu_D^a\) est fort simple à calculer. En effet :

\[\int_A d\mu_D^a(x) = \mu_D^a(A) = \indicatrice_A(a)\]

par définition. Si \(a \notin A\), l'ensemble \(A\) est de mesure nulle et :

\[\int_A f(x) \ d\mu_D^a(x) = 0\]

Considérons à présent le cas où \(a \in A\). L'ensemble \(A \setminus \{a\}\) étant disjoint de \(\{a\}\) et de mesure nulle :

\[\int_{A \setminus \{a\}} d\mu_D^a(x) = \indicatrice_{A \setminus \{a\}}(a) = 0\]

on a :

\[\int_A f(x) \ d\mu_D^a(x) = \int_{\{a\}} f(x) \ d\mu_D^a(x)\]

La fonction \(f\) étant constante sur \(\{a\}\) et valant \(f(a)\), on a finalement :

\[\int_A f(x) \ d\mu_D^a(x) = f(a) \cdot \indicatrice_{\{a\}}(a) = f(a)\]

Dans le cas général, on a donc :

\[\int_A f(x) \ d\mu_D^a(x) = f(a) \cdot \indicatrice_A(a)\]

On note également :

\[\int_A f(x) \ \indicatrice(x - a) \ dx = f(a) \cdot \indicatrice_A(a)\]

Soit une mesure \(\mu\) définie par :

\[d\mu(x) = \left[ \varphi(x) + \sum_i \alpha_i \cdot \indicatrice(x - x_i) \right] \ dx\]

où les \(\alpha_i \in \setR\). Si les \(x_i\) appartiennent tous à \(A\), l'intégrale d'une fonction \(f\) par rapport à cette mesure s'écrit :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = \int_A f(x) \cdot \varphi(x) \ dx + \sum_i \alpha_i \cdot f(x_i)\]

Soit une fonction \(f : \setR \mapsto \setR\) et \(a,b \in \setR\) tels que \(a \le b\).

Soit \(a,b,c,\alpha,\beta \in \setR\) avec \(\alpha \le a,b,c \le \beta\). Soit une fonction intégrable \(f : [\alpha,\beta] \mapsto \setR\). Posons :

\[I(x,y) = \int_x^y f(\xi) \ d\xi\]

où \(d\xi = d\mu_L(\xi)\) est la mesure de Lebesgue. Par définition, on a :

\[I(y,x) = - I(x,y)\]

Si \(a \le b \le c\), on a :

\[\mu_L( [a,b] \cap [b,c] ) = \mu_L( \{ b \} ) = 0\]

L'additivité nous donne alors :

\[I(a,c) = I(a,b) + I(b,c)\]

Si \(a \le c \le b\), on a :

\[\mu_L( [a,c] \cap [c, b] ) = \mu_L( \{ c \} ) = 0\]

et :

\[I(a,b) = I(a,c) + I(c,b)\]

On en déduit que :

\[I(a,c) = I(a,b) - I(c,b) = I(a,b) + I(b,c)\]

On vérifie pareillement, en considérant tous les cas, que \(I(a,b) = I(a,c) + I(c,b)\) quel que soit l'ordre des réels \(a,b,c\). On a donc :

\[\int_a^c f(x) \ dx = \int_a^b f(x) \ dx + \int_b^c f(x) \ dx\]

Soit la fonction intégrable et continue \(f : [a,b] \mapsto \setR\). Pour la mesure de Lebesgue, on a :

Les bornes d'une fonction continue sur un intervalle fermé étant atteintes, on peut trouver des réels \(\sigma,\lambda \in [a,b]\) tels que :

Les bornes de l'intégrales nous disent que :

\[f(\lambda) \le \unsur{b - a} \int_a^b f(s) ds \le f(\sigma)\]

Le théorème des valeurs intermédiaires nous permet alors de trouver un \(c\) compris entre \(\lambda\) et \(\sigma\) (et donc dans \([a,b]\)) tel que :

\[f(c) = \unsur{b - a} \int_a^b f(s) ds\]

• Chapitre \ref{chap:mesure} : Les normes
• Chapitre \ref{chap:ps} : Les produits scalaires
• Chapitre \ref{chap:integral} : Les intégrales

Soit une fonction \(f : A \mapsto \setR\) et sa décomposition en fonctions positives \(f = f^+ - f^-\). Soit \(\abs{f} : A \mapsto \setR\) définie par :

\[\abs{f}(x) = \abs{f(x)}\]

pour tout \(x \in A\). Si \(f(x) \ge 0\), on a \(f^-(x) = 0\) et :

\[\abs{f(x)} = f(x) = f^+(x) = f^+(x) + f^-(x)\]

Si \(f(x) \strictinferieur 0\), on a \(f^+(x) = 0\) et :

\[\abs{f(x)} = -f(x) = f^-(x) = f^+(x) + f^-(x)\]

On en conclut que \(\abs{f} = f^+ + f^-\). Si \(f\) est intégrable, \(f^+\) et \(f^-\) le sont aussi et :

\[\int_A \abs{f(x)} \ d\mu(x) = \int_A f^+(x) \ d\mu(x) + \int_A f^-(x) \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty\]

La fonction \(\abs{f}\) est donc également intégrable. Inversément, si \(\abs{f}\) est intégrable, on a \(f^+ = \abs{f} - f^- \le \abs{f}\) et \(f^- = \abs{f} - f^+ \le \abs{f}\), d'où :

La fonction \(f\) est donc également intégrable. On en conclut que l'on peut représenter l'ensemble des fonctions intégrables par :

\[\lebesgue(A) = \left\{ f \in \setR^A : \int_A \abs{f(x)} \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty \right\}\]

Soit une fonction à valeurs complexes \(u : A \mapsto \setC\). On définit les fonctions à valeurs réelles associées \(v,w : A \mapsto \setR\) par :

L'intégrale de la fonction \(u\) est alors définie par :

\[\int_A u(x) \ d\mu(x) = \int_A \phi(x) \ d\mu(x) + \img \int_A \psi(x) \ d\mu(x)\]

Par analogie avec le produit scalaire sur \(\corps^n\) :

\[\scalaire{x}{y} = \sum_i \conjaccent{x}_i \cdot y_i \equiv \sum_i \conjaccent{x}(i) \cdot y(i)\]

on définit le produit scalaire entre deux fonctions \(u,v : A \mapsto \setC\) par :

\[\scalaire{u}{v} = \int_A \conjaccent{u(x)} \cdot v(x) \ d\mu(x)\]

Cette application est clairement hermitienne et linéaire à droite. Comme l'intégrale d'une fonction positive est positive, on a aussi :

\[\scalaire{u}{u} = \int_A \abs{u(x)}^2 \ d\mu(x) \ge 0\]

Il ne s'agit cependant pas tout à fait d'un produit scalaire, car la condition :

\[\scalaire{u}{u} = \int_A \abs{u(x)}^2 \ d\mu(x) = 0\]

n'implique pas que \(u = 0\) partout sur \(A\). Par contre, l'annulation de cette intégrale implique que la fonction positive \(x \mapsto \abs{u(x)}^2\) soit essentiellement nulle. On aura donc également \(u \essegal 0\). L'application \(\scalaire{}{}\) est donc essentiellement un produit scalaire. On parlera aussi de produit scalaire au sens faible. La norme essentielle (ou norme faible) associée est :

\[\norme{u} = \sqrt{ \scalaire{u}{u} } = \sqrt{ \int_A \abs{u(x)}^2 \ d\mu(x) }\]

Sur quel espace ce « produit scalaire » est-il correctement défini ? Il faut que la norme associée soit finie :

\[\norme{u}^2 = \scalaire{u}{u} = \int_A \abs{u(x)}^2 \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty\]

Si les normes de \(u\) et \(v\) sont finies, Cauchy-Schwartz nous garantit que :

\[\abs{\int_A \conjaccent{u(x)} \cdot v(x) \ d\mu(x)} \le \left[ \int_A \abs{u(x)}^2 \ d\mu(x) \right] \cdot \left[ \int_A \abs{v(x)}^2 \ d\mu(x) \right] \strictinferieur +\infty\]

Nous définissons donc notre produit scalaire fonctionnel sur l'espace :

\[\lebesgue^2(A) = \left\{ u \in \setC^A : \int_A \abs{u(x)}^2 \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty \right\}\]

nommé espace de Lebesgue de degré \(2\).

L'espace de Lebesgue de degré \(k\) est l'ensemble des fonctions telles que l'intégrale de la puissance \(k\) existe (et ne soit donc pas infinie) :

\[\lebesgue^k(A,B) = \left\{ u \in \setC^A : \int_A \abs{u(x)}^k \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty \right\}\]

Par analogie avec la norme « max », on définit l'espace des fonctions essentiellement bornées par :

\[\lebesgue^\infty(A,B) = \left\{ u \in \setR^A : \supessentiel \{ \abs{u(x)} : x \in A \} \strictinferieur +\infty \right\}\]

On peut généraliser le produit scalaire usuel de \(\lebesgue^2(A,B)\) en généralisant la notion de « matrice de produit scalaire ». On choisit une fonction \(K : A^2 \to B\) appelée « noyau » et on définit le produit scalaire associé :

\[\braket{u}{K}{v} = \scalaire{u}{v}_K = \int_{A^2} u(x) \cdot K(x,y) \cdot v(y) \ d\mu(x) \ d\mu(y)\]

Ce noyau doit bien entendu respecter certaines propriétés afin de s'assurer que \(\scalaire{}{}_K\) soit bien un produit scalaire.

Soit une suite de fonctions intégrables :

\[\{ u_n \in \setR^A : n \in \setR \}\]

Nous supposons que \(u_n \esssuperieur 0\) pour tout \(n \in \setN\) et que la suite soit essentiellement croissante :

\[u_0 \essinferieur u_1 \essinferieur u_2 \essinferieur u_3 \essinferieur ...\]

Nous supposons également que la fonction :

\[s = \sup \{ u_n : n \in \setN\}\]

est bien définie et intégrable :

\[S = \int_A s(x) \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty\]

Soit une suite \(\{ f_n \in \setR^A : n \in \setN \}\) de fonctions intégrables essentiellement positives. Posons :

\[u_n = \sum_{i = 0}^n f_i\]

On voit que la suite des \(u_n\) est croissante et essentiellement positive. Si la somme converge, on a :

\[\lim_{n \to \infty} u_n(x) = \sum_{i = 0}^{+\infty} f_i(x) = s(x)\]

pour tout \(x \in A\). Si la fonction \(s\) ainsi définie est intégrable, on a donc :

\[\int_A \sum_{i = 0}^{+\infty} f_i(x) \ d\mu(x) = \lim_{n \to \infty} \int_A \sum_{i = 0}^n f_i(x) \ d\mu(x)\]

Soit une suite \(\{ f_n \in \setR^A : n \in \setN \}\) de fonctions intégrables essentiellement positives. Posons :

\[u_n = \inf \{ f_m : m \in \setN, \ m \ge n \}\]

et supposons que la fonction \(s = \sup_n u_n\) soit bien définie et intégrable. Par construction, la suite des \(u_n\) est croissante et essentiellement positive. On a donc \(\int_A \lim_n u_n = \lim_n \int_A u_n\), c'est-à-dire :

\[\int_A \liminf_{n \to \infty} f_n(x) \ d\mu(x) = \lim_{n \to \infty} \int_A u_n(x) \ d\mu(x)\]

Comme la limite des \(U_n = \int_A u_n\) existe, on a \(\liminf_n U_n = \lim_n U_n\) et :

\[\int_A \liminf_{n \to \infty} f_n(x) \ d\mu(x) = \liminf_{n \to \infty} \int_A u_n(x) \ d\mu(x)\]

Comme \(u_n \le f_n\), on a \(U_n \le F_n = \int_A f_n\). On en conclut que \(\liminf_n U_n \le \liminf_n F_n\) :

\[\liminf_{n \to \infty} \int_A u_n(x) \ d\mu(x) \le \liminf_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

Rassemblant ces résultats, il vient :

\[\int_A \liminf_{n \to \infty} f_n(x) \ d\mu(x) \le \liminf_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

Soit une suite de fonctions \(\{ f_n : n \in \setN \}\) intégrables sur \(\Omega\). Nous supposons qu'il existe un sous-ensemble essentiel \(A\) de \(\Omega\) et une fonction \(f : A \mapsto \setR\) telle que :

\[\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)\]

pour tout \(x \in A\). Nous supposons également qu'il existe une fonction intégrable \(\varphi : A \mapsto \setR\) telle que \(\abs{f_n} \le \varphi\) pour tout \(n \in \setN\).

Soit \(x \in A\). Puisque la suite \(\{ \abs{f_n(x)} : n \in \setN \}\) est inférieure à \(\varphi(x)\), sa limite \(\abs{f(x)}\) vérifie \(\abs{f(x)} \le \varphi(x)\). On a donc \(\abs{f} \le \varphi\) et \(\int_A \abs{f} \le \int_A \varphi \strictinferieur +\infty\), ce qui montre que \(f\) est intégrable. La majoration par \(\varphi\) nous montre également que \(\varphi - \max \{ f_n , -f_n \} \ge 0\), d'où :

On peut donc appliquer le lemme de Fatou à la suite de fonctions \(\psi_n = \varphi - f_n\). On obtient :

\[\int_A \liminf_{n \to \infty} [\varphi(x) - f_n(x)] \ d\mu(x) \le \liminf_{n \to \infty} \int_A [\varphi(x) - f_n(x)] \ d\mu(x)\]

On sait que la fonction \(\varphi\) ne dépend pas de \(n\) et que la limite de \(f_n\) existe. On a donc \(\liminf_n f_n = \limsup_n f_n = \lim f_n\). Comme \(\inf(-X) = -\sup(X)\), on a aussi :

\[\liminf_n (-f_n) = - \limsup_n f_n = - \lim_n f_n = -f\]

On en déduit que :

\[\int_A \liminf_n [\varphi - f_n] = \int_A \varphi - \int_A f\]

Pour le second membre, on a :

\[\liminf_n \int_A [\varphi - f_n] = \int_A \varphi + \liminf_n \left[ - \int_A f_n \right] = \int_A \varphi - \limsup_n \int_A f_n\]

On se retrouve donc avec l'inégalité :

\[\int_A \varphi - \int_A f \le \int_A \varphi - \limsup_n \int_A f_n\]

Eliminant l'intégrale de \(\varphi\), il vient :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) \ge \limsup_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

Appliquons à présent le lemme de Fatou à la suite de fonctions \(\omega_n = \varphi + f_n\). On obtient :

\[\int_A \liminf_{n \to \infty} [\varphi(x) + f_n(x)] \ d\mu(x) \le \liminf_{n \to \infty} \int_A [\varphi(x) + f_n(x)] \ d\mu(x)\]

Utilisant les mêmes remarques que précédemment et éliminant l'intégrale de \(\varphi\), il vient :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) \le \liminf_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

Rassemblant ces résultats, on en déduit que :

\[\limsup_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x) \le \liminf_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

Mais on sait que \(\liminf(X) \le \limsup(X)\). On conclut de ces deux inégalités que :

\[\limsup_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x) = \liminf_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

La limite de la suite d'intégrales existe donc et :

\[\lim_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x) = \limsup_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x) = \liminf_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

Les bornes faisant intervenir l'intégrale de \(f\) deviennent :

\[\lim_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x) \le \int_A f(x) \ d\mu(x) \le \lim_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

d'où :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = \lim_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

Nous venons de prouver que :

\[\int_A \lim_{n \to \infty} f_n(x) \ d\mu(x) = \lim_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

L'intégrale étant invariante sous abstraction d'un ensemble de mesure nulle, on a même :

\[\int_\Omega f(x) \ d\mu(x) = \lim_{n \to \infty} \int_\Omega f_n(x) \ d\mu(x)\]

pour autant que \(f\) soit définie sur \(\Omega\).

• Chapitre \ref{chap:fonction} : Les fonctions
• Chapitre \ref{chap:mesure} : Les mesures

Soit une fonction \(f : A \mapsto \setR\) et la fonction \(I : X \mapsto \setR\) définie par :

\[I(x) = \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y)\]

pour tout \(x \in X\). On note dans la suite :

\[\int_X \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) \ d\nu(x) = \int_X I(x) \ d\nu(x)\]

ou encore :

\[\int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) = \int_X I(x) \ d\nu(x)\]

Sur \(\setR^2\), la mesure de Lebesgue, que nous notons ici \(\sigma\), est basée sur des ensembles de la forme :

\[P = [a,b] \times [c,d]\]

où \(a,b,c,d \in \setR\) et \(a \le b\), \(c \le d\). Si \(\mu\) est la mesure de Lebesgue sur \(\setR\), on a alors :

\[\sigma(P) = (\mu \otimes \mu)([a,b] \times [c,d]) = \mu([a,b]) \cdot \mu([c,d]) = (b - a) \cdot (d - c)\]

Considérons le partionnement formé des segments \([(x,c),(x,d)]\) pour tous les \(x\) compris entre \(a\) et \(b\) :

\[\mathcal{P} = \{ [(x,c),(x,d)] : x \in [a,b] \}\]

Comme :

\[[(x,c),(x,d)] = \{ (x,y) : y \in [c,d] \}\]

on définit la mesure \(\mu\) d'un tel segment par extension de la mesure de Lebesgue :

\[\mu([(x,c),(x,d)]) = d - c\]

La mesure \(\sigma_x\) qui en découle s'évalue :

\[\sigma_x(A) = \int_a^b (d - c) dx = (d - c) \int_a^b dx = (d - c) \cdot (b - a)\]

Considérons le partionnement alternatif :

\[\mathcal{Q} = \{ [(a,y),(b,y)] : y \in [c,d] \}\]

Comme :

\[[(a,y),(b,y)] = \{ (x,y) : x \in [a,b] \}\]

on définit la mesure \(\mu\) d'un tel segment par extension de la mesure de Lebesgue :

\[\mu([(a,y),(b,y)]) = b - a\]

La mesure \(\sigma_y\) qui en découle s'évalue :

\[\sigma_y(A) = \int_c^d (b - a) dy = (b - a) \int_c^d dy = (b - a) \cdot (d - c)\]

On en conclut que \(\sigma_x = \sigma_y = \sigma\). Si \(f\) est une fonction intégrable sur \(A = [\alpha,\beta] \times [\gamma,\delta] \subseteq \setR^2\), on a alors :

\[\int_A f(x,y) \ d\sigma(x,y) = \int_\alpha^\beta dx \int_\gamma^\delta f(x,y) \ dy = \int_\gamma^\delta dy \int_\alpha^\beta f(x,y) \ dx\]

On note souvent \(d\sigma(x,y) = dx \ dy\) et :

\[\int_A f(x,y) \ dx \ dy = \int_\alpha^\beta dx \int_\gamma^\delta f(x,y) \ dy = \int_\gamma^\delta dy \int_\alpha^\beta f(x,y) \ dx\]

On peut généraliser Fubini dans certaines conditions. On a alors :

\[\int_{A \times B} f(x,y) \ d\mu(x) \ d\nu(y) = \int_B d\nu(y) \ \int_A f(x,y) \ d\mu(x)\]

et symétriquement :

\[\int_{A \times B} f(x,y) \ d\mu(x) \ d\nu(y) = \int_A \ d\mu(x) \int_B f(x,y) \ d\nu(y)\]

Soit les réels \(a,b\) et les fonctions \(S,I : [a,b] \mapsto \setR\) permettant de définir l'ensemble :

\[A = \{ (x,y) \in [a,b] \times \setR : I(x) \le y \le S(x) \}\]

Posons :

\[A(x) = \{ (x,y) : I(x) \le y \le S(x) \}\]

On voit que \(A(x) \cap A(z) = \emptyset\) si \(x \ne z\) et que :

\[A = \bigcup_{x \in [a,b]} A(x)\]

On a donc :

\[\int_A f(x,y) \ d\sigma(x,y) = \int_a^b d\nu(x) \ \int_{I(x)}^{S(x)} f(x,y) \ d\mu(y)\]

Un petit lemme intéressant permettant de permuter l'intégration de deux variables. Soit le triangle \(\Delta\) :

\[\Delta = \{ (s,t) \in \setR^2 : 0 \le s,t \le T, \quad s \ge t \}\]

On peut redéfinir cet ensemble de deux manières équivalentes :

On a donc :

\[\int_\Delta f(x) \ dx = \int_0^T \ ds \int_0^s f(s,t) \ dt = \int_0^T \ dt \int_t^T f(s,t) \ ds\]

Soit une fonction décroissante \(f : \setR \mapsto \setR\). Choisissons \(k \in \setZ\). Comme \(f(k)\) maximise \(f\) sur \([k,k+1]\), l'intégrale vérifie :

\[\int_k^{k + 1} f(x) \ dx \le \int_k^{k + 1} f(k) \ dx= f(k) \cdot 1\]

Comme \(f(k)\) minimise \(f\) sur \([k-1,k]\), l'intégrale vérifie :

\[f(k) = f(k) \cdot 1 = \int_{k - 1}^k f(k) \ dx \le \int_{k - 1}^k f(x) \ dx\]

On en déduit l'encadrement :

\[\int_k^{k + 1} f(x) \ dx \le f(k) \le \int_{k - 1}^k f(x) \ dx\]

Soit \(m, n \in \setZ\). On a :

\[\sum_{k = m}^n \int_k^{k + 1} f(x) \ dx = \int_m^{n + 1} f(x) \ dx\]

et :

\[\sum_{k = m}^n \int_{k - 1}^k f(x) \ dx = \int_{m - 1}^n f(x) \ dx\]

En sommant les inégalités sur \(k \in \setZ[m,n]\), on obtient :

\[\int_m^{n + 1} f(x) \ dx \le \sum_{k = m}^n f(k) \le \int_{m - 1}^n f(x) \ dx\]

Sous réserve de convergence des sommes et des intégrales, on a :

\[\int_0^{+\infty} f(x) \ dx \le \sum_{k = 0}^{+\infty} f(k) \le \int_{-1}^{+\infty} f(x) \ dx\]