Eclats de vers : Matemat 03 : Ensembles - 5

• Chapitre \ref{chap:ordreInclusif} : L'ordre inclusif

Soit l'ensemble \(\Omega\) et \(A,B \subseteq \Omega\). Au sens inclusif, les supremum et infimum de l'ensemble \(\{A,B\}\) existent toujours et :

Le concept de treillis est une généralisation de cette propriété. Soit un ensemble \(\mathcal{T}\) sur lequel est défini l'ordre \(\le\). On dit que le couple \((\mathcal{T},\le)\) est un treillis si, pour tout éléments \(a,b \in \mathcal{T}\), le supremum et l'infimum de l'ensemble :

\[\{ a,b \}\]

existent :

\[\minor \{ a, b \} \le \inf \{ a, b \} \le \{ a, b \} \le \sup \{ a, b \} \le \major \{ a, b \}\]

Dans la suite, nous considérons un treillis \((\mathcal{T},\le)\).

Soit \(a, b \in \mathcal{T}\). Par analogie avec l'union ensembliste, on définit l'opération d'union généralisée \(\sqcup\) par :

\[a \sqcup b = \sup \{ a, b \}\]

Soit \(a, b \in \mathcal{T}\). Par analogie avec l'intersection ensembliste, on définit l'opération d'intersection généralisée \(\sqcap\) par :

\[a \sqcap b = \inf \{ a, b \}\]

Le treillis dual de \((\mathcal{T},\le)\) est noté \((\mathcal{T},\le)^\dual\) et défini par :

\[(\mathcal{T},\le)^\dual = (\mathcal{T},\le^\dual)\]

où \(\le^\dual\) est l'ordre dual de \(\le\). On a bien entendu :

\[\sup_{\le^\dual} \{a,b\} = \inf_\le \{a,b\}\]

et :

\[\inf_{\le^\dual} \{a,b\} = \sup_\le \{a,b\}\]

Le treillis dual est donc également un treillis.

On dit que \(x^\ddagger \in \mathcal{T}\) est un complémentaire de \(x \in \mathcal{T}\) si :

\[x \sqcup x^\ddagger = 1\]

\[x \sqcap x^\ddagger = 0\]

On dit que \((\mathcal{T},\le)\) est un treillis distributif si :

\[a \sqcup (b \sqcap c) = (a \sqcup b) \sqcap (a \sqcup c)\]

\[a \sqcap (b \sqcup c) = (a \sqcap b) \sqcup (a \sqcap c)\]

pour tout \(a,b,c \in \mathcal{T}\).

Un treillis \((\mathcal{T},\le)\) est dit booléen si et seulement si :

• il comprend un élément nul et un élément universel
• il est distributif
• chaque élément de \(\mathcal{T}\) admet un complémentaire

Soit \(a \in \mathcal{T}\). On a :

\[\{a\} \le a \le \major\{a\}\]

donc :

\[a = \sup\{a\}\]

On en conclut que :

\[a \sqcup a = \sup\{a,a\} = \sup\{a\} = a\]

On a :

\[\minor\{a\} \le a \le \{a\}\]

donc :

\[a = \inf\{a\}\]

On en conclut que :

\[a \sqcap a = \inf\{a,a\} = \inf\{a\} = a\]

Soit \(a, b \in \mathcal{T}\). Comme \(\{a,b\} = \{b,a\}\), on a clairement :

\[a \sqcup b = b \sqcup a\]

et :

\[a \sqcap b = b \sqcap a\]

Soit \(a, b \in \mathcal{T}\). Posons :

\[\sigma = \sup\{a,b\}\]

Comme \(\sigma \ge a\), on a :

\[a \le \{a,\sigma\}\]

Choisissons \(\lambda \in \mathcal{T}\) tel que :

\[\lambda \le \{a,\sigma\}\]

on a alors forcément :

\[\lambda \le a\]

d'où l'on conclut que :

\[\minor \{a,\sigma\} \le a \le \{a,\sigma\}\]

L'élément \(a\) est donc l'infimum de \(\{a,\sigma\}\) :

\[a = \inf \{a,\sigma\}\]

Par définition de \(\sigma\), on a donc :

\[a = \inf \{a, \sup \{a, b\} \}\]

Exprimée en terme d'opérations, cette relation devient :

\[a = a \sqcap (a \sqcup b)\]

Cette même propriété étant valable pour le treillis dual, on a :

\[a = a \sqcap^\dual (a \sqcup^\dual b)\]

Équation qui peut être réexprimée en termes d'opérations du treillis primal, ce qui nous donne :

\[a = a \sqcup (a \sqcap b)\]

Une collection \(\mathcal{C}\) de sous-ensembles d'un ensemble de référence \(\Omega\) :

\[\mathcal{C} \subseteq \sousens(\Omega)\]

est un treillis d'ensembles si et seulement si :

\[\emptyset,\Omega \in \mathcal{C}\]

et :

\[A \cup B \in \mathcal{C}\]

\[A \cap B \in \mathcal{C}\]

pour tout \(A,B \in \mathcal{C}\). Le couple \((\mathcal{C},\subseteq)\) est un cas particulier de treillis.

• Chapitre \ref{chap:collections} : Les collections
• Chapitre \ref{chap:ordreInclusif} : L'ordre inclusif

Soit un ensemble \(\Omega\) et une collection de sous-ensembles \(\mathcal{T} \subseteq \sousens(\Omega)\). On dit que \(\mathcal{T}\) forme une tribu sur \(\Omega\) si et seulement si les conditions suivantes sont remplies :

• \(\emptyset \in \mathcal{T}\)
• si \(A \in \mathcal{T}\), on a aussi \(\Omega \setminus A \in \mathcal{T}\)
• l'union de toute suite discrète \(A_1,A_2,... \in \mathcal{T}\)

appartient aussi à la collection :

\[\bigcup_i A_i \in \mathcal{T}\]

On note \(\tribu(\Omega)\) l'ensemble des tribus sur \(\Omega\).

On conclut directement de la définition que :

\[\Omega = \Omega \setminus \emptyset \in \mathcal{T}\]

Soit les \(A_i \in \mathcal{T}\) et leurs complémentaires :

\[B_i = \Omega \setminus A_i \in \mathcal{T}\]

On a aussi :

\[A_i = \Omega \setminus B_i\]

En prenant l'intersection de tous les \(A_i\), on obtient :

\[\bigcap_i A_i = \Omega \setminus \crochets{\bigcup_i B_i} \in \mathcal{T}\]

On en déduit que toute intersection dénombrable d'éléments de \(\mathcal{T}\) est également dans \(\mathcal{T}\).

Soit \(A,B \in \mathcal{T}\), on a

\[A \setminus B = A \cap (\Omega \setminus B) \in \mathcal{T}\]

Les collections d'ensemble étant des ensembles d'ensembles, on peut également les comparer au moyen de l'inclusion. En ce sens, la tribu engendrée par la collection \(\mathcal{C} \subseteq \sousens(\Omega)\) est la plus petite tribu contenant les éléments de \(\mathcal{C}\). On la note :

\[\tribu(\mathcal{C},\Omega) = \inf_\subseteq \{ \mathcal{T} \in \tribu(\Omega) : \mathcal{C} \subseteq \mathcal{T} \}\]

• Chapitre \ref{chap:collections} : Les collections
• Chapitre \ref{chap:ordreInclusif} : L'ordre inclusif

Soit un ensemble \(\Omega\) et une collection de sous-ensembles \(\topologie \subseteq \sousens(\Omega)\). On dit que \(\topologie\) forme une topologie sur \(\Omega\) si et seulement si les conditions suivantes sont remplies :

• \(\emptyset, \Omega \in \topologie\)
• pour toute sous-collection \(\mathcal{C} \subseteq \topologie\), l'union des ensembles-éléments de \(\mathcal{C}\) appartient également à la topologie :

\[\bigcup \mathcal{C} \in \topologie\]

• si \(A,B \in \topologie\), leur intersection appartient également à la topologie :

\[A \cap B \in \topologie\]

On note \(\topologies(\Omega)\) l'ensemble des topologies sur \(\Omega\).

Si \(\topologie\) est une topologie sur \(\Omega\), on dit que le couple \((\Omega,\topologie)\) forme un espace topologique.

On appelle « ouvert » tout ensemble \(U \in \topologie\).

On appelle « fermé » tout complémentaire d'un ouvert. Si \(F \subseteq \Omega\) est un fermé, on peut donc écrire :

\[F = \Omega \setminus U\]

pour un certain \(U \in \topologie\). On note la collection des ensembles fermés par :

\[\ferme = \{ \Omega \setminus U : U \in \topologie \}\]

On a \(\{\emptyset,\Omega\} \subseteq \topologie \cap \ferme\).

On dit que \(V \subseteq \Omega\) est un voisinage de \(x \in \Omega\) si il existe un ouvert \(U \in \topologie\) tel que \(x \in U \subseteq V\).

L'adhérence, ou fermeture, d'un ensemble \(A \subseteq \Omega\) est le plus petit (au sens inclusif) ensemble fermé \(F\) contenant \(A\). On la note :

\[\adh A = \inf_\subseteq \{ F \in \ferme : A \subseteq F \} = \bigcap \{ F \in \ferme : A \subseteq F \}\]

L'intérieur d'un ensemble \(A \subseteq \Omega\) est le plus grand ensemble ouvert contenu dans \(A\). On le note :

\[\interieur A = \sup_\subseteq \{ U \in \topologie : U \subseteq A \} = \bigcup \{ U \in \topologie : U \subseteq A \}\]

La frontière de \(A\) est la différence entre l'adhérence et l'intérieur :

\[\frontiere A = (\adh A) \setminus (\interieur A)\]

On dit que le couple \((\Omega,\topologie)\) est un espace de Haussdorff si, pour tout \(x,y \in \Omega\) vérifiant \(x \ne y\), on peut trouver des ouverts \(U, V \in \topologie\) tels que :

\[x \in U, \ y \in V\]

et :

\[U \cap V = \emptyset\]

Les collections d'ensemble étant des ensembles d'ensembles, on peut également les comparer au moyen de l'inclusion. En ce sens, la topologie engendrée par la collection \(\mathcal{C} \subseteq \sousens(\Omega)\) est la plus petite topologie contenant les ensembles-éléments de \(\mathcal{C}\). On la note :

\[\topologies(\mathcal{C},\Omega) = \inf_\subseteq \{ \topologie \in \topologies(\Omega) : \mathcal{C} \subseteq \topologie \}\]